Psi (x، t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) سؤال جديد ؟

#ا)#

تحتاج فقط أن تأخذ #Psi ^ "*" بسي #.

#color (أزرق) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = اللون (الأزرق) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#ب)#

يمكن العثور على الفترة بأقل جهد ممكن ، وذلك ببساطة عن طريق معرفة الطاقات أولا ، والتي هي ثوابت الحركة.

طاقة # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # هو # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #، والطاقة من # # phi_2 هو # # 4E_1. لذلك ، التردد # # omega_2 من # # phi_2 هو أربعة أضعاف ذلك من # # phi_1 (# # omega_1).

نتيجة لذلك ، هذه الفترة # T_1 = (2pi) / (omega_1) # من # # phi_1 هو أربعة أضعاف ذلك من # # phi_2 (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #و هي أيضا فترة # # phi_2.

الفترة هكذا #color (أزرق) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#C) #

سوف تسمح لك بتوصيل هذا واحد في نفسك كما #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. لا تحتاج إلى القيام بأي شيء معها …

نحن نعرف ذلك #T = (2pi) / (omega_1) #، وذلك # (iEt) / ℏ = iomegat #، وبالتالي

#E_n = omega_nℏ #.

كنتيجة ل،

# pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

و

#color (أزرق) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = اللون (الأزرق) (1 / (12ℏ)) #

#د)#

احتمال العثور على الجسيمات في # 0، L / 2 # ويرد على النحو

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((بكسل) / L) sin ((2 بكسل) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((بيكسل) / L) الخطيئة ((2pix) / L) كوس (3omega_1t) DX #

المصطلحين الأوليين متماثلان مع نصف السعة والعائد #50%# بصورة شاملة.

الفترة الثالثة سيكون لها احتمالية الحالة الثابتة لل # 4 / (3pi) #و # # كوس هو عامل المرحلة التعسفي. وبالتالي ، فإن الاحتمال العام هو

# = اللون (الأزرق) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E) #

#color (blue) (<< x >>) = << Psi | س | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

لا يوجد حل تافه لهذا … اتضح أنه:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = اللون (الأزرق) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#F)#

في #x = L / 2 #، ال # # الخطيئة حيث تذهب إلى #sin (pi / 2) = 1 # و ل #sin (pi) = 0 #، على التوالي.

منذ #sin (pi) = 0 #الجزء المعتمد على الوقت من #Psi ^ "*" بسي # يختفي ويحتفظ جزء مستقل عن الوقت # 1 / L # كما كثافة الاحتمال.