تكامل بسيط: int {-3x + 5} / {x ^ 2-2x + 5} dx =؟

إجابة:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

# = ظل الزاوية القوسي ((خ-1) / 2) -3 / 2LN (س ^ 2-2x + 5) #

تفسير:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-3-2) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #+#int 2 / (x ^ 2-2x + 5) * dx #

=#int 2 / ((x-1) ^ 2 + 4) * dx #-# 3 / 2int (2x-2) / (x ^ 2-2x + 5) #

=#arctan ((خ-1) / 2) -3 / 2LN (س ^ 2-2x + 5) #

إجابة:

# = - 3 / 2LN (س ^ 2-2x + 5) + تان ^ -1 ((خ-1) / 2) + C #

تفسير:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = int (-3x + 5-2 + 2) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = int (-3x + 3) / (x ^ 2-2x + 5) + 2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = - الباحث (3X 3) / (س ^ 2-2x + 5) DX + int2 / (س ^ 2-2x + 5) DX #

إلى عن على:

# -int (3X 3) / (س ^ 2-2x + 5) DX #

استخدم البديل:

# ش = س ^ 2-2x + 5 #

#implies du = 2x-2dx تعني 3 / 2du = 3x-3dx #

#therefore -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx = -int (3/2) / udu = -3 / 2ln (u) + C #

عكس البديل:

# -3 / 2LN (س ^ 2-2x + 5) + C #

الآن لا يتجزأ أخرى:

# int2 / (س ^ 2-2x + 5) DX #

اكتب المقام في شكل مربع مكتمل:

# س ^ 2-2x + 5 = (س 1) ^ 2 - (- 1) ^ 2 + 5 = (س 1) ^ 2 + 4 #

وبالتالي:

# int2 / (س ^ 2-2x + 5) = DX 2intdx / ((خ-1) ^ 2 + 4) #

بديلا الآن:

# 2u = (x-1) #

#implies du = 2dx # وبالتالي:

# 2intdx / ((خ-1) ^ 2 + 4) = 2int2 / (4U ^ 2 + 4) دو = 4 / 4int1 / (ش ^ 2 + 1) دو #

الذي ندركه سيتكامل ببساطة معاكس ا مما يمنحنا:

# = تان ^ -1 (ش) + C "#

عكس البديل:

# = تان ^ -1 ((خ-1) / 2) + C "#

وبالتالي ، فإن "شيء ما" هو:

#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #

# = - الباحث (3X 3) / (س ^ 2-2x + 5) DX + int2 / (س ^ 2-2x + 5) DX #

# = - 3 / 2LN (س ^ 2-2x + 5) + تان ^ -1 ((خ-1) / 2) + C #