واسمحوا N يكون أصغر عدد صحيح مع 378 المقسومات. إذا كانت N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d ، ما هي قيمة {a، b، c، d} في NN؟

إجابة:

# (أ ، ب ، ج ، د) = (6 ، 5 ، 2 ، 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19،051،200 #

تفسير:

إعطاء عدد # ن # مع العوامل الأولية #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #كل مقسوم عليه # ن # هو من النموذج # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # أين #beta_i في {0 ، 1 ، … ، alpha_i} #. كما أن هناك # alpha_i + 1 # خيارات لكل منهما # # beta_iعدد المقسومات # ن # اعطي من قبل

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (ط = 1) ^ ك (alpha_i + 1) #

مثل # N = 2 ^ ^ axx3 bxx5 ^ ^ cxx7 د #عدد المقسومات # N # اعطي من قبل # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. وبالتالي ، هدفنا هو العثور عليها #(ا ب ت ث)# بحيث يحمل المنتج أعلاه و # 2 ^ ^ axx3 bxx5 ^ ^ cxx7 د # هو الحد الأدنى. وبينما نقوم بالتقليل إلى الحد الأدنى ، سوف نفترض من هذه النقطة فصاعد ا # أ => ب> = ج => د # (إذا لم يكن الأمر كذلك ، فبإمكاننا تبديل الأسس للحصول على نتيجة أقل بنفس عدد المقسومات).

مع ملاحظة ذلك # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #، يمكننا النظر في الحالات المحتملة التي #378# هو مكتوب كمنتج من أربعة أعداد صحيحة # k_1 ، k_2 ، k_3 ، k_4 #. يمكننا فحص هذه لمعرفة أي ينتج أقل نتيجة ل # N #.

شكل: # (k_1، k_2، k_3، k_4) => (a، b، c، d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2 ، 3 ، 3 ^ 2 ، 7) => (8 ، 6 ، 2 ، 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2 ، 3 ، 3 ، 3 * 7) => (20 ، 2 ، 2 ، 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (أحمر) ((3 ، 3 ، 2 * 3 ، 7) => (6 ، 5 ، 2 ، 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3 ، 3 ، 3 ، 2 * 7) => (13 ، 2 ، 2 ، 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1 ، 3 ، 2 * 3 ^ 2 ، 7) => (17 ، 6 ، 2 ، 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

يمكننا أن نتوقف هنا ، لأن أي حالات أخرى ستشهد بعض الحالات #k_i> = 27 #، إعطاء # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #، وهو بالفعل أكبر من أفضل حالاتنا.

من خلال العمل أعلاه ، إذن ، فإن #(ا ب ت ث)# الذي ينتج الحد الأدنى # N # مع #378# المقسومات هي # (أ ، ب ، ج ، د) = (6 ، 5 ، 2 ، 2) #، إعطاء #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19،051،200 #