لماذا لا يمكننا دمج x ^ x؟

إجابة:

ليس لدينا قاعدة لذلك.

تفسير:

في التكاملات ، لدينا قواعد قياسية. القاعدة المضادة للسلسلة ، القاعدة المضادة للمنتج ، القاعدة المضادة للسلطة ، وهلم جرا. لكن ليس لدينا وظيفة واحدة لها وظيفة # # س في كل من القاعدة والقوة. يمكننا أن نأخذ مشتق منه على ما يرام ، ولكن محاولة أخذ جزء لا يتجزأ منه أمر مستحيل بسبب عدم وجود قواعد ستعمل عليه.

إذا قمت بفتح Desmos Graphing Calculator ، يمكنك محاولة التوصيل

# int_0 ^ x a ^ ada #

وسوف الرسم البياني أنه على ما يرام. ولكن إذا حاولت استخدام قاعدة مكافحة القوة أو قاعدة مضادة الأس ، للرسم البياني ضدها ، فسترى أنها تفشل. عندما حاولت العثور عليه (الذي ما زلت أعمل عليه) ، كانت خطوتي الأولى هي التخلص من هذا النموذج والوصول إلى ما يلي:

# الأسواق العالمية ضغطها ^ (XLN (خ)) DX #

هذا يتيح لنا أساسا استخدام قواعد حساب التفاضل والتكامل أفضل قليلا. ولكن حتى عند استخدام Integration by Parts ، فلن تتخلص أبد ا من التكامل. لذلك ، لا تحصل في الواقع على وظيفة لتحديدها.

ولكن كما هو الحال دائم ا في الرياضيات ، إنه أمر ممتع للتجربة.لذا ، استمر وحاول ، ولكن ليس طويل ا أو صعب ا ، ستشعر بالامتصاص في فتحة الأرانب هذه.

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

#y = x ^ x # يمكن أن تكون متكاملة. على سبيل المثال

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

شيء آخر هو أن يكون الآن أيام ، وظيفة # F (خ) # الذي يمثل في شكل مغلق ، البدائية ل # س ^ س # أو بعبارة أخرى ، مثل هذا

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

إذا كانت هذه وظيفة شائعة الاستخدام في المشكلات التقنية العلمية ، فمن المؤكد أننا اخترعنا اسم ا ورمز ا مختلفين لمعالجته. مثل وظيفة لامبرت على النحو المحدد

#W (x) = x e ^ x #

إجابة:

من فضلك، انظر بالأسفل.

تفسير:

كما أشار Cesareo (دون أن يقول) ، هناك بعض الغموض في "لا يمكننا الاندماج".

الوظيفة #f (x) = x ^ x # مستمر في # (0، س س) #

و على # 0، س س) # إذا صنعنا # F (0) = 1 #، لذلك دعونا نفعل ذلك. لذلك ، لا يتجزأ محددة

# int_a ^ b x ^ x dx # موجود للجميع # 0 <= a <= b #

وعلاوة على ذلك ، فإن نظرية calulus الأساسية تخبرنا أن الوظيفة # int_0 ^ x t ^ t dt # لديه مشتق # س ^ س # إلى عن على #x> = 0 #

ما لا يمكننا فعله هو التعبير عن هذه الوظيفة في شكل لطيف ومحدود ومغلق من التعبيرات الجبرية (أو حتى معرفة الوظائف التجاوزي).

هناك أشياء كثيرة في الرياضيات لا يمكن التعبير عنها إلا في شكل يسمح بتقديرات أفضل على التوالي.

فمثلا:

الرقم الذي مربع #2# لا يمكن التعبير عنها بشكل عشري أو كسري باستخدام تعبير محدود. لذلك نحن نعطيها رمزا ، # # sqrt2 وتقريبه إلى أي مستوى المطلوب من الدقة.

لا يمكن التعبير عن نسبة محيط القطر إلى دائرة بشكل نهائي باستخدام مزيج جبري محدد من الأعداد الصحيحة ، لذلك نعطيها اسم ا ، # بي # وتقريبه إلى أي مستوى الدقة المطلوب.

الحل ل # س = cosx # كما يمكن تقريبها إلى أي درجة من الدقة المطلوبة ، ولكن لا يمكن التعبير عنها بدقة. هذا الرقم (ربما) ليس مهم ا بما يكفي لإعطاء اسم.

كما قال سيزاريو ، إذا كان لا يتجزأ من # س ^ س # كان لديه العديد من التطبيقات ، فإن علماء الرياضيات اعتماد اسم لذلك.

ولكن الحسابات لا تزال تتطلب تقريب لانهائي.