السؤال رقم e8044

إجابة:

#color (أزرق) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (blue) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

تفسير:

من المعطى #int (1 / (1 + cot x)) dx #

إذا كان integrand هو وظيفة عقلانية للوظائف المثلثية ، فإن البديل # z = تان (x / 2) #أو ما يعادلها

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # و #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # و

# DX = (2dz) / (1 + ض ^ 2) #

الحل:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + ض ^ 2)) #

تبسيط

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + ض ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

في هذه المرحلة ، استخدم الكسور الجزئية ثم دمج

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (ض ^ 2-2z-1)) DZ #

نحن نفعل الكسور الجزئية أولا

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2Z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 +1)) / ((ض ^ 2 + 1) (ض ^ 2-2z-1)) #

قم بتوسيع الجانب الأيمن من المعادلة

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (من الألف إلى الياء ^ 3-2Az ^ 2-من الألف إلى الياء + بيسة ^ 2-2Bz-B + تشيكوسلوفاكيا ^ 3 + DZ ^ 2 + تشيكوسلوفاكيا + D) / ((ض ^ 2 + 1) (ض ^ 2-2z-1)) #

قم بإعداد المعادلات

# (0 * ض ^ 3 + 0 * ض ^ 2-4 * ض + 0 * ض ^ 0) / ((ض ^ 2 + 1) (ض ^ 2-2z-1)) = #

# ((A + C) * ض ^ 3 + (- 2A + B + D) * ض ^ 2 + (- A-2B + C) * ض + (- B + D) * ض ^ 0) / ((ض ^ 2 + 1) (ض ^ 2-2z-1)) #

المعادلات هي

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

الحل المتزامن يؤدي إلى

# A = 1 # و # B = 1 # و # C = -1 # و # D = 1 #

يمكننا الآن أن نفعل التكامل

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz = #

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

سنعود إلى المتغير الأصلي # # س استخدام # z = تان (x / 2) # للحصول على الجواب النهائي.

#color (أزرق) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (blue) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

أين # K = # ثابت التكامل

بارك الله فيكم … أتمنى أن يكون التفسير مفيدا.