كيفية اختيار رقمين يكون مجموع جذورهما المربعة في حده الأدنى ، مع العلم أن منتج الرقمين هو؟

إجابة:

# س = ص = الجذر التربيعي (أ) #

تفسير:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x، y) = sqrt (x) + sqrt (y) "الحد الأدنى" #

# "يمكننا العمل مع Lagrange المضاعف L:" #

#f (x، y، L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "العائد المشتق:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(بعد الضرب بـ x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "الحد الأدنى" #

# "الآن لا يزال يتعين علينا التحقق من x = 0." #

# "هذا مستحيل لأن x * y = 0 بعد ذلك." #

# "لذلك لدينا الحل الفريد" #

# س = ص = الجذر التربيعي (أ) #

إجابة:

سأحاول أن يأخذك من خلال طريقة الحل أدناه.

تفسير:

ما الذي تبحث عنه؟

رقمين. دعونا نعطيهم أسماء ، # # س و # ذ #.

نعيد قراءة السؤال.

نريد أن نجعل مجموع الجذور المربعة في حده الأدنى.

هذا يخبرنا شيئين

(1) كلا الرقمين غير سالب (لتجنب التخيل)

(2) نحن مهتمون بقيمة # sqrtx + sqrty #

نعيد قراءة السؤال.

قيل لنا أيضا أن نتاج # # س و # ذ # هو #ا#.

الذي يختار #ا#?

بشكل عام ، إذا كان التمرين يقول شيئ ا ما #ا# أو #ب# أو # ج #، نحن نأخذ تلك الثوابت التي قدمها شخص آخر.

لذلك قد يقال لنا "نتاج # # س و # ذ # هو #11#'

أو "نتاج # # س و # ذ # هو #124#'.

علينا حل كل هذه في وقت واحد بالقول # س ص = ل# لبعض ثابت #ا#.

لذلك ، نحن نريد أن نجعل # sqrtx + sqrty # صغيرة بقدر الإمكان حفظ # س ص = ل# لبعض ثابت #ا#.

هذا يبدو وكأنه مشكلة التحسين وهي واحدة. لذلك أريد وظيفة متغير واحد لتقليل.

# sqrtx + sqrty # لديه اثنين من المتغيرات ، # # س و # ذ #

# س ص = ل# لديها أيضا اثنين من المتغيرات ، # # س و # ذ # (تذكر #ا# هو ثابت)

وبالتالي #y = أ / س #

الآن نريد تقليل:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

ابحث عن المشتق ، ثم الرقم (الأرقام) الحرج واختبر الرقم (الأرقام) الحرج. إنهاء يكون الحقائق # ذ #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

حرج # # sqrta

#f '(x) <0 # إلى عن على #x <sqrta # و #f '(x)> 0 # إلى عن على #x> sqrta #، وبالتالي # F (sqrta) # هو الحد الأدنى.

#x = sqrta # و #y = a / x = sqrta #

إجابة:

# 2 الجذر (4) (أ) #

تفسير:

نحن نعرف ذلك ل #x_i> 0 # نحن لدينا

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

ثم

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # ثم

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

لكن # x_1x_2 = a # ثم

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #