إجابة:
تلميح 1: افترض أنه معادلة # x ^ 2 + x-u = 0 # مع # ش # عدد صحيح لديه حل صحيح # ن #. اظهر ذلك # ش # هو حتى.
تفسير:
إذا # ن # هو الحل هناك عدد صحيح # م # مثل ذلك
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
أين #nm = u # و # m-n = 1 #
لكن المعادلة الثانية تستلزم ذلك #m = n + 1 #
الآن ، كلاهما # م # و # ن # هي الأعداد الصحيحة ، لذلك واحدة من # ن #, # ن + 1 # حتى و #nm = u # هو حتى.
اقتراح
إذا # ش # هو عدد صحيح غريب ، ثم المعادلة # x ^ 2 + x - u = 0 # ليس لديه حل يمثل عدد ا صحيح ا.
دليل
لنفترض وجود حل صحيح # م # المعادلة:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
أين # ش # هو عدد صحيح غريب. يجب أن نفحص الحالتين المحتملتين:
# م # أمر غريب؛ أو
# م # هو حتى.
أولا ، دعونا ننظر في القضية حيث # م # غريب ، ثم يوجد عدد صحيح #ك# مثل ذلك:
# m = 2k + 1 #
الآن ، منذ ذلك الحين # م # هو أصل معادلة لدينا ، يجب أن يكون ما يلي:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
ولدينا تناقض ، كما # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # حتى ، ولكن # ش # أمر غريب.
بعد ذلك ، دعونا ننظر في القضية حيث # م # حتى ، ثم هناك عدد صحيح #ك# مثل ذلك:
# م = 2 ك #
وبالمثل ، منذ ذلك الحين # م # هو أصل معادلة لدينا ، يجب أن يكون ما يلي:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. ش = 2 (2 كيلو ^ 2 + ك) #
ومرة أخرى ، لدينا تناقض ، كما # 2 (2k ^ 2 + k) # حتى ، ولكن # ش # أمر غريب.
لقد أثبتنا أنه لا يوجد حل صحيح للمعادلة # x ^ 2 + x - u = 0 # أين # ش # هو عدد صحيح غريب.
ومن ثم ثبت الاقتراح. وهو المطلوب
إجابة:
انظر أدناه.
تفسير:
إذا # س ^ 2 + س-ش = 0 # ثم
# ضعف (س + 1) = ش # ثم إذا # # س هو عدد صحيح ، # ضعف (س + 1) # حتى ، كونه تناقضا ل # ش # بواسطة الفرضية أمر غريب.
