إثبات أن هذه الوظيفة لم تحد في x_0 = 0؟ + مثال

إجابة:

انظر الشرح.

تفسير:

وفق ا لتعريف هاين لحد الوظائف ، لدينا:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

وذلك لإظهار أن وظيفة لديها لا الحد في # # x_0 علينا أن نجد تسلسلين # {x_n} # و # {شريط (خ) _n} # مثل ذلك

#lim_ {ن -> + س س} x_n = lim_ {ن -> + س س} شريط (س) = _n x_0 #

و

#lim_ {ن -> + س س} و (x_n) = lim_ {ن -> + س س}! و (شريط (خ) _n) #

في المثال المعطى ، يمكن أن تكون هذه التسلسلات:

# x_n = 1 / (2 ^ ن) # و #bar (خ) _n = 1 / (3 ^ ن) #

كلا تسلسل تتلاقى ل # x_0 = 0 #ولكن وفق ا لصيغة الوظيفة لدينا:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

لأن كل العناصر في # # x_n يكون في #1,1/2,1/4,…#

ولل #bar (خ) _n # نحن لدينا:

# F (شريط (خ) _1) = و (1) = 2 #

لكن للجميع # N> = 2 # نحن لدينا: # F (شريط (خ) _n) = 1 #

وذلك ل # N -> + س س # نحن لدينا:

#lim_ {ن -> + س س} و (شريط (خ) _n) = 1 # (**)

كلا التسلسلات تغطية ل # x_0 = 0 #، لكن الحدود (*) و (**) هي ليس على قدم المساواة ، وبالتالي فإن الحد #lim_ {X-> 0} و (خ) # غير موجود.

وهو المطلوب

يمكن العثور على تعريف الحد في ويكيبيديا على:

إجابة:

هنا هو دليل باستخدام نفي تعريف وجود حد.

تفسير:

نسخة مختصرة

# F (خ) # لا يمكن الاقتراب من رقم واحد # # L لأنه في أي حي من #0#الوظيفة #F# يأخذ القيم التي تختلف عن بعضها البعض من قبل #1#.

لذلك بغض النظر عن ما يقترح شخص ما ل # # L، هناك نقاط # # س قريب #0#، أين # F (خ) # هذا على الاقل #1/2# وحدة بعيدا عن # # L

نسخة طويلة

#lim_ (xrarr0) و (خ) # موجود إذا وفقط إذا

هناك رقم ، # # L مثل هذا للجميع #epsilon> 0 #، هناك # دلتا> 0 # مثل هذا للجميع # # س, # 0 <القيمة المطلقة (س) <دلتا # يدل #abs (f (x) -L) <epsilon #

نفي هذا هو:

#lim_ (xrarr0) و (خ) # فشل في الوجود إذا وفقط إذا

لكل رقم # # L هناك #epsilon> 0 #، هذا للجميع # دلتا> 0 # هناك # # س، مثل ذلك # 0 <القيمة المطلقة (س) <دلتا # و #abs (f (x) -L)> = epsilon #

إعطاء عدد # # L، أنا سوف أدع #epsilon = 1/2 # (أي أصغر # # إبسيلون سوف تعمل كذلك)

تعطى الآن إيجابية # دلتا #، يجب أن أظهر أن هناك # # س مع # 0 <absx <delta # و #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (تذكر ذلك #epsilon = 1/2 #)

إعطاء إيجابية # دلتا # ، في النهاية # 1/2 ^ n <delta # لذلك هناك # # X_1 مع #f (x_1) = 2 #.

هناك أيضا عنصر # x_2 في RR- {1 ، 1/2 ، 1/4 ،… } # مع # 0 <x_2 <دلتا # و #f (x_2) = 1 #

إذا #L <= (1/2) #، ثم #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

إذا #L> = (1/2) #، ثم #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #