إجابة:
يرجى الاطلاع على الشرح أدناه
تفسير:
الوظيفة هي
# F (س، ص) = س ^ 2 + س ص + ص ^ 2 + 3X-3Y + 4 #
المشتقات الجزئية هي
# (DELF) / (delx) = 2X + ص + 3 #
# (DELF) / (دالي) = 2Y + X-3 #
سمح # (DELF) / (delx) = 0 # و # (DELF) / (دالي) = 0 #
ثم،
# {(2X + ص + 3 = 0)، (2Y + X-3 = 0):} #
#=>#, # {(س = -3)، (ص = 3):} #
# (ديل ^ 2F) / (delx ^ 2) = 2 #
# (ديل ^ 2F) / (دالي ^ 2) = 2 #
# (ديل ^ 2F) / (delxdely) = 1 #
# (ديل ^ 2F) / (delydelx) = 1 #
المصفوفة هسه هو
#Hf (س، ص) = (((دل ^ 2F) / (delx ^ 2)، (ديل ^ 2F) / (delxdely))، ((دل ^ 2F) / (delydelx)، (ديل ^ 2F) / (دالي ^ 2))) #
المحدد هو
#D (س، ص) = ديت (H (س، ص)) = | (2،1)، (1،2) | #
#=4-1=3 >0#
وبالتالي،
لا توجد نقاط السرج.
#D (1،1)> 0 # و # (ديل ^ 2F) / (delx ^ 2)> 0 #، هناك حد أدنى محلي في #(-3,3)#
إجابة:
الحد الأدنى المحلي: #(-3,3)#
تفسير:
تم العثور على مجموعة من النقاط التي تشمل كل من النقاط القصوى والسرج عند كليهما # (DELF) / (delx) (س، ص) # و # (DELF) / (دالي) (س، ص) # تساوي الصفر.
على افتراض # # س و # ذ # متغيرات مستقلة:
# (DELF) / (delx) (س، ص) = 2X + ص + 3 #
# (DELF) / (دالي) (س، ص) = س + 2Y-3 #
لذلك لدينا معادلتان متزامنتان ، يحدثان بسرور لخطي:
# 2X + ص + 3 = 0 #
# س + 2Y-3 = 0 #
من الأول:
# ذ = -2x-3 #
البديل في الثاني:
# س + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# س-4X-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# س = -3 #
بدل العودة إلى الأول:
# 2 (-3) + ص + 3 = 0 #
# -6 + ص + 3 = 0 #
# -3 + ص = 0 #
# ص = 3 #
إذا ، هناك نقطة واحدة تصبح فيها المشتقات الأولى صفرا ، إما علامة نهايات أو سرج ، في # (س، ص) = (- 3،3) #.
لاستنتاج أي ، يجب علينا حساب مصفوفة المشتقات الثانية ، مصفوفة هسي (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((دل ^ 2F) / (delx ^ 2)، (ديل ^ 2F) / (delxdely))، ((دل ^ 2F) / (delydelx)، (ديل ^ 2F) / (دالي ^ 2))) #
# (ديل ^ 2F) / (delx ^ 2) = 2 #
# (ديل ^ 2F) / (delxdely) = 1 #
# (ديل ^ 2F) / (delydelx) = 1 #
# (ديل ^ 2F) / (دالي ^ 2) = 2 #
وهكذا
# (((دل ^ 2F) / (delx ^ 2)، (ديل ^ 2F) / (delxdely))، ((دل ^ 2F) / (delydelx)، (ديل ^ 2F) / (دالي ^ 2))) = ((2،1)، (1،2)) #
جميع مشتقات الدرجة الثانية ثابتة بشكل ثابت مهما كانت قيم # # س و # ذ #، لذلك نحن لسنا بحاجة لحساب القيم لنقطة الاهتمام على وجه التحديد.
ملاحظة: لا يعتبر ترتيب التمايز مهم ا بالنسبة للمهام ذات المشتقات الثانية المستمرة (نظرية كليرولت ، التطبيق هنا: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives) ، ولذا فإننا نتوقع ذلك # (ديل ^ 2F) / (delxdely) = (ديل ^ 2F) / (delydelx) #، كما نرى في نتيجة محددة أعلاه.
في هذه الحالة ذات المتغيرين ، يمكننا استنتاج نوع النقطة من محدد الهسي ، # (ديل ^ 2F) / (delx ^ 2) (ديل ^ 2F) / (دالي ^ 2) - (دل ^ 2F) / (delxdely) (ديل ^ 2F) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
يتم تقديم نموذج للاختبار للإدارة هنا:
نرى أن المحدد هو #>0#، وذلك هو # (ديل ^ 2F) / (delx ^ 2) #. لذلك نستنتج ذلك #(-3,3)#، النقطة الوحيدة للمشتق الأول صفر ، هي الحد الأدنى المحلي من الدالة.
كتحقق عقلاني لسؤال وظيفة أحادية البعد ، عادة ما أقوم بنشر الرسم البياني الخاص به ، لكن Socratic ليس لديه مرفق للتخطيط السطحي أو الكنتوري مناسب للوظائف ثنائية الأبعاد ، بقدر ما أستطيع رؤيته. لذلك أنا سوف overplot الوظيفتين # F (-3، ص) # و # F (س، 3) #، والتي لا تميز مجال الوظيفة بالكامل بالنسبة لنا ، ولكنها ستظهر لنا الحد الأدنى بينهما ، والذي يظهر كما هو متوقع في # ص = 3 # و # س = -3 #، أخذ قيمة وظيفة متطابقة # و # = -5 في كل حالة.
مثل # F (س، ص) = س ^ 2 + س ص + ص ^ 2 + 3X-3Y + 4 #
# F (-3، ص) = ص ^ 2-6Y + 4 #
# F (س، 3) = س ^ 2 + 6X + 4 #
الرسم البياني {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10 ، 5 ، -6 ، 7}
