ما هي الجذور المنطقية المحتملة x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0؟

إجابة:

هذا الخماسي لا يوجد لديه جذور عقلانية.

تفسير:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

بواسطة نظرية الجذر العقلاني ، أي أصفار لل # F (خ) # معبر عنها في النموذج # ف / ف # للأعداد الصحيحة # p ، q # مع # ف # مقسوم على المدى الثابت #-12# و # ف # مقسوم على المعامل #1# من المصطلح الرائدة.

وهذا يعني أن الوحيد الممكن معقول الأصفار هي:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

لاحظ أن #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # لديه كل المعاملات السلبية. بالتالي # F (خ) # لا يوجد لديه الأصفار السلبية.

لذلك الوحيد الممكن معقول الأصفار هي:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

تقييم # F (خ) # لكل من هذه القيم ، نجد أن لا شيء صفرا. وبالتالي # F (خ) # لا يملك معقول الأصفار.

مشترك مع معظم الخماسيات ومتعدد الحدود من الدرجة العليا ، فإن الأصفار ليست قابلة للتعبير من حيث # ن #جذور أو وظائف الابتدائية ، بما في ذلك الدوال المثلثية.

يمكنك استخدام الطرق العددية مثل Durand-Kerner للعثور على التقديرات:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2،3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4،5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #