من فضلك ، شخص يساعد في حل المشكلة؟

إجابة:

جرب التغيير # س = تان يو #

انظر أدناه

تفسير:

نحن نعرف ذلك # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

بواسطة التغيير المقترح لدينا

# dx = ثانية ^ 2u du #. يتيح بديلا في لا يتجزأ

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = سينو + C #

وبالتالي ، التراجع عن التغيير:

# ش = arctanx # وأخيرا لدينا

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

إجابة:

#COLOR (الأزرق) (intdx / (1 + س ^ 2) ^ (3/2) = س / الجذر التربيعي (1 + س ^ 2) + C) #

تفسير:

دعونا نحاول استخدام تبديل المثلثية لحل هذا التكامل. للقيام بذلك ، سنقوم ببناء مثلث الزاوية اليمنى #Delta ABC # وتسمية الجوانب بطريقة يمكننا من خلالها استخدام معادلة فيثاغورس ، استنباط التعبيرات التي نراها حالي ا في وسيطة التكامل كما يلي:

زاوية # / _ B = ثيتا # لديه الجانب الآخر # # س والجانب المجاور #1#. باستخدام صيغة فيثاغورس:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # النتائج في:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + س ^ 2 = 1 + س ^ 2 #

# BC = الجذر التربيعي (1 + س ^ 2 # كما هو مبين.

الآن ، دعنا نكتب أهم ثلاث وظائف مثلثية أساسية # # ثيتا:

# sintheta = س / الجذر التربيعي (1 + س ^ 2) #

# costheta = 1 / الجذر التربيعي (1 + س ^ 2) #

# tantheta = س / 1 = س #

الآن نحن بحاجة إلى استخدام هذه المعادلات لحل أجزاء مختلفة من الحجة المتكاملة من الناحية المثلثية. لنستخدم # # tantheta:

# tantheta = س #

لنأخذ المشتقات من كلا الجانبين:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

من # # costheta المعادلة ، يمكننا حل ل #sqrt (1 + س ^ 2) #:

#sqrt (1 + س ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

إذا رفعنا طرفي هذه المعادلة إلى قوة #3# نحن نحصل:

# ثانية ^ 3theta = (الجذر التربيعي (1 + س ^ 2)) ^ 3 = ((1 + س ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + س ^ 2) ^ (3/2) #

الآن ، يمكننا استبدال ما قمنا بحسابه إلى جزء لا يتجزأ من المشكلة لتحويله إلى جزء لا يتجزأ من المثلث:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (red) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (أحمر) (ثانية ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

الآن ، يمكننا استبدال مرة أخرى ل # # sintheta ونحول جوابنا مرة أخرى إلى تعبير جبري من حيث # # س:

#COLOR (الأزرق) (intdx / (1 + س ^ 2) ^ (3/2) = س / الجذر التربيعي (1 + س ^ 2) + C) #