السؤال رقم 242a2

إجابة:

بالنسبة للطاقة المخزنة في المكثف في الوقت المناسب # ر # نحن لدينا #E (ر) == E (0) إكسب (-2t / (CR)) # أين #E (0) # هي الطاقة الأولية ، # C # القدرة و # R # مقاومة السلك الذي يربط بين جانبي المكثف.

تفسير:

دعونا أولا نراجع بعض المفاهيم الأساسية قبل الإجابة على هذا السؤال. بالطبع نحن بحاجة إلى معرفة الطاقة المخزنة في المكثف ، أو بالأحرى الطاقة المخزنة في المجال الكهربائي الناتج عن الشحنة المخزنة في المكثف. لهذا لدينا الصيغة # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # مع # C # قدرة مكثف و # Q # التهمة المخزنة على واحدة من لوحات المكثفات. 1

حتى نعرف كيف تقل الطاقة ، نحتاج أن نعرف كيف تقل الشحنة. لهذا هناك بعض الأشياء التي يجب أن نضعها في الاعتبار. أول شيء ، هو أن التهمة يمكن أن تنخفض فقط إذا كان يمكن أن تذهب إلى أي مكان. أبسط سيناريو هو أن اللوحتين متصلتان عبر سلك ، بحيث يمكن للوحة أن تتبادل الشحنة حتى تصبح محايدة. الشيء الثاني هو أنه إذا افترضنا أن السلك ليس له مقاومة ، فستكون الشحنة قادرة على التحرك على الفور ، وبالتالي ستنخفض الطاقة إلى الصفر عند هذا المعدل أيض ا. نظر ا لأن هذا الوضع ممل ، وإلى جانب ذلك ، ليس واقع ا حقيقي ا ، فإننا نفترض أن السلك لديه بعض المقاومة # R #، والتي يمكن أن نمذجة من خلال ربط لوحات المكثفات عبر المقاوم مع المقاومة # R # باستخدام أسلاك المقاومة أقل.

ما لدينا الآن هو ما يسمى RC الدائرة ، كما هو موضح أدناه. لمعرفة كيفية تغير الرسوم المخزنة ، نحتاج إلى كتابة بعض المعادلات التفاضلية. لست متأكد ا من مدى كفاءة القارئ في الرياضيات ، لذا يرجى إعلامي إذا كان القسم التالي غير واضح لك ، وسأحاول شرحه بمزيد من التفاصيل.

بادئ ذي بدء ، نلاحظ أنه عندما نسير على طول السلك ، فإننا نعاني من جهدين يقفزان بالكهرباء (الجهد) ، وهما في المكثف وفي المقاوم. وتعطى هذه القفزات من قبل # DeltaV_C = Q / C # و # DeltaV_R = IR # على التوالي 1. نلاحظ أنه في البداية لا يوجد تيار ، وبالتالي فإن الفرق المحتمل على المقاوم هو 0 ، ومع ذلك ، كما سنرى ، سيكون هناك تيار عندما تبدأ الرسوم في التحرك. نلاحظ الآن أنه عندما نتجول في الدائرة بدءا من نقطة واحدة ، سوف ننتهي في نفس النقطة مرة أخرى ، لأننا في دائرة. في هذه المرحلة ، تكون الإمكانات هي نفسها في كلتا الحالتين ، لأنها نفس النقطة. (عندما أقول إننا نسير على طول الدائرة ، لا أقصد ذلك حرفي ا ، بل إننا نتفحص الجهد الذي يقفز على الدائرة في وقت واحد ، لذلك لا يمر وقت عند السير على طول الدائرة ، وبالتالي تظل الحجة قائمة ، حتى لو يتغير الجهد في الوقت المناسب.)

هذا يعني أن إجمالي القفزات المحتملة هو صفر. وبالتالي # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. الآن نحن نفكر في ما #أنا#، والحالي هو. التيار يتحرك الشحنة ، يأخذ شحنة موجبة بعيدا عن لوحة مكثف واحد ويسلم إلى الآخر. (في الواقع معظم الوقت هو العكس ، ولكن لا يهم الرياضيات لهذه المشكلة.) وهذا يعني أن التيار يساوي التغيير في تهمة على لوحات ، وبعبارة أخرى # I = (DQ) / دينارا #. استبدال هذا في المعادلة أعلاه يعطينا # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #وهذا يعني # (DQ) / دينارا = -Q / (CR) #. هذا ما يسمى المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى. وهي تملي التغيير في الشحنة بقيمة الشحنة في ذلك الوقت بطريقة خطية ، مما يعني أنه إذا كانت الشحنة أكبر مرتين ، فسيكون التغيير في الشحنة أكبر مرتين. يمكننا حل هذه المعادلة عن طريق استخدام ذكي لحساب التفاضل والتكامل.

# (DQ) / دينارا = -Q / (CR) #، نحن نفترض # # Qne0، الأمر الذي لم يكن في البداية ، وكما سيظهر ، فلن يكون أبد ا. باستخدام هذا يمكننا أن نقول # 1 / Q (DQ) / دينارا = -1 / (CR) #. أن تعرف # Q # في مرحلة ما في الوقت المناسب # ر # (بعبارات أخرى #Q (ر) #، ندمج المعادلة كما يلي: # int_0 ^ T1 / (Q (ر ')) (DQ (ر ")) / (دينارا') دينارا '= int_0 ^ T1 / (CR) دينارا' = - ر / (CR) # منذ # C # و # R # هي الثوابت. # int_0 ^ T1 / (Q (ر ')) (DQ (ر ")) / (دينارا') دينارا '= int_ (Q (0)) ^ (Q (ر)) (DQ) / Q = قانون الجنسية ((Q (ر)) / (Q (0))) # عن طريق تغيير المتغيرات. هذا يعنى #ln ((Q (ر)) / (Q (0))) = - ر / (CR) #، وبالتالي #Q (ر) = Q (0) إكسب (-t / (CR)) #.

أخير ا ، نحتاج إلى استبدال هذا في المعادلة للطاقة:

#E (ر) = 1/2 (Q (ر) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) إكسب (-2t / (CR)) #.

وبالتالي فإن الطاقة تنخفض بشكل كبير عبر الزمن. في الواقع نرى ذلك إذا # R # كان للذهاب إلى الصفر ، #E (ر) # سوف تذهب إلى 0 على الفور.

1 جريفيث ، ديفيد ج. مقدمة في الديناميكا الكهربائية. طبعة رابعة. بيرسون للتعليم المحدودة ، 2014