كيف يمكنك العثور على extrema لـ g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)؟

إجابة:

#G (خ) # لا يوجد لديه حد أدنى عالمي ومحلي في # س = -1 #

تفسير:

لاحظ أن:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

وبالتالي فإن وظيفة

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

يتم تعريف لكل # x في RR #.

الى جانب ذلك #f (y) = sqrty # هي وظيفة زيادة رتابة ، ثم أي تطرف ل #G (خ) # هو أيضا النقيض عن:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

ولكن هذا هو متعدد الحدود من الدرجة الثانية مع معامل إيجابي الرائدة ، وبالتالي فإنه لا يوجد لديه الحد الأدنى والحد الأدنى المحلي واحد.

من عند #(1)# يمكننا أن نرى بسهولة ما يلي:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

و:

# س + 1 = 0 #

فقط عندما # س = -1 #، ثم:

#f (x)> = 4 #

و

#f (x) = 4 #

فقط ل # س = -1 #.

بناء على ذلك:

#g (x)> = 2 #

و:

#g (x) = 2 #

فقط ل # س = -1 #.

يمكننا أن نستنتج أن #G (خ) # لا يوجد لديه حد أدنى عالمي ومحلي في # س = -1 #

#G (س) = الجذر التربيعي (س ^ 2 + 2X + 5) #, # # س#في## # RR

نحن نحتاج # س ^ 2 + 2X + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_G = RR #

# # AA# # س#في## # RR:

#G '(س) = ((س ^ 2 + 2X + 5)') / (2sqrt (س ^ 2 + 2X + 5)) # #=#

# (2X + 2) / (2sqrt (س ^ 2 + 2X + 5)) # #=#

# (س + 1) / (الجذر التربيعي (س ^ 2 + 2X + 5)> 0) #

#G '(س) = 0 # #<=># # (س = -1) #

• إلى عن على # ضعف <-1 # نحن لدينا #G '(س) <0 # وبالتالي # ز # يتناقص بصرامة في # (- س س، -1 #

• إلى عن على # ضعف> ##-1# نحن لدينا #G '(س)> 0 # وبالتالي # ز # يتزايد بشكل صارم في # - 1 + س س) #

بالتالي #G (س) => ز (-1) = 2> 0 #, # # AA# # س#في## # RR

كنتيجة ل # ز # لديه الحد الأدنى العالمي في # x_0 = -1 #, #G (-1) = 2 #