ما هي extrema لـ f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 في [-oo، oo]؟

إجابة:

# F (خ) # لديه الحد الأدنى في # س = 2 #

تفسير:

قبل المتابعة ، لاحظ أن هذه عبارة عن قطع مكافئ صعودي ا ، مما يعني أنه يمكننا معرفة دون أي حساب آخر أنه لن يكون له حد أقصى ، وحد أدنى في ذروته. إكمال المربع سي ظهر لنا ذلك #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #، وإعطاء قمة ، وبالتالي الحد الأدنى الوحيد ، في #x = 2 #. دعونا نرى كيف سيتم ذلك مع حساب التفاضل والتكامل.

سيحدث أي extrema إما عند نقطة حرجة أو عند نقطة نهاية الفاصل الزمني المحدد. كما لدينا فترة معينة من # (- س س، س س) # مفتوح ، يمكننا تجاهل إمكانية نقاط النهاية ، وبالتالي سنقوم أولا بتحديد النقاط الحرجة للدالة ، أي النقطة التي يكون عندها مشتق الوظيفة #0# أو غير موجود.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

وضع هذا يساوي #0#، نجد نقطة حرجة في # س = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

الآن ، يمكننا إما اختبار لمعرفة ما إذا كان هو أقصى (ونوع) من خلال التحقق من بعض القيم #F# حول هذه النقطة ، أو باستخدام اختبار المشتقات الثاني. دعنا نستخدم الأخير.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

مثل #f '' (2) = 6> 0 #اختبار الاشتقاق الثاني يخبرنا بذلك # F (خ) # لديه الحد الأدنى المحلي في # س = 2 #

وبالتالي ، باستخدام # F '(خ) # و # F '(خ) #، نجد ذلك # F (خ) # لديه الحد الأدنى في # س = 2 #، مطابقة النتيجة التي وجدناها باستخدام الجبر.