كيف يمكنني حل 2sinx = cos (x / 3)؟

إجابة:

حلولنا التقريبية هي:

# x = {163.058 ^ circ ، 703.058 ^ circ ، 29.5149 ^ circ ، 569.51 ^ circ ، -192.573 ^ circ أو -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

لالعدد الصحيح #ك#.

تفسير:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

هذه هي صعبة للغاية.

لنبدأ بالإعداد # ص = س / 3 # وبالتالي # س = 3Y # والاستعاضة. ثم يمكننا استخدام صيغة الزاوية الثلاثية:

# 2 الخطيئة (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

دعونا مربع حتى نكتب كل شيء من حيث # sin ^ 2 y #. هذا سوف يعرض على الأرجح جذور غريبة.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

سمح # s = sin ^ 2 y #. تسمى الجيبات المربعة الهوامش في علم المثلثات الرشيد.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

هذه معادلة مكعبة بثلاثة جذور حقيقية ، مرشحين للجيوب التربيعية لـ # 3X. # يمكن أن نستخدم الصيغة المكعبة ، لكن ذلك سيؤدي فقط إلى بعض جذور المكعب من الأرقام المعقدة التي ليست مفيدة بشكل خاص. دعنا فقط نأخذ حل ا رقمي ا:

# s 0.66035 أو s 0.029196 أو s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

دعنا نعمل بالدرجات. حلولنا التقريبية المحتملة هي:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) تقريبا pm 163.058 ^ circ أو pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) تقريب ا pm 29.5149 ^ circ أو pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) تقريب ا مساء 192.573 ^ circ أو pm 732.573 ^ circ #

دعونا نرى ما اذا كان أي من هؤلاء العمل. سمح #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) تقريب ا 0.00001 quad # هذا حل

#e (-163.058 ^ circ) تقريب ا -1.17 quad # ليس حلا.

بوضوح على الأكثر واحدة من أ #مساء# سوف زوج العمل.

عشرة آخرين للذهاب.

#e (703.058 ^ circ) حوالي 0.00001 رباعية sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # كلا

#e (29.5149 ^ circ) حوالي 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # كلا

#e (569.51 ^ circ) حوالي 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # كلا

# e (192.573 ^ circ) تقريب ا -.87 quad # كلا

#e (-192.573 ^ circ) تقريب ا 0.00001 quad sqrt #

# e (732.573 ^ circ) -87 تقريب ا رباعية كلا

#e (-732.573 ^ circ) حوالي 0.00001 رباعية sqrt #

و arcsin يأتي مع # + 360 ^ circ k #، وعامل الثلاثة يجعله # 1080 ^ circ k. #

حسن ا ، حلولنا التقريبية هي:

# x = {163.058 ^ circ، 703.058 ^ circ، 29.5149 ^ circ، 569.51 ^ circ، -192.573 ^ circ، -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # لالعدد الصحيح #ك#.