Psi_A (x، 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) احسب قيمة التوقع في أي وقت لاحق t = t_1 ، phi_n هي وظائف الطاقة في البئر المحتملة اللامتناهية. اكتب الإجابة من حيث E_0؟

حسنا ، أنا أحصل عليها # 14 / 5E_1 #… وبالنظر إلى النظام الذي اخترته ، لا يمكن إعادة التعبير عنه من حيث # # E_0.

هناك الكثير من قواعد الميكانيكا الكمومية المكسورة في هذا السؤال …

• ال # # phi_0، نظر ا لأننا نستخدم حلول ا جيدة لا حصر لها ، فإنه يختفي تلقائي ا … # ن = 0 #، وبالتالي #sin (0) = 0 #.

وللسياق ، لقد سمحنا #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

• أنه غير ممكن لكتابة الجواب من حيث # # E_0 لان # ن = 0 # لا وجود له لاحتمال جيد. إلا إذا كنت تريد أن الجسيمات ل تلاشى ، يجب أن أكتبها من حيث # # E_n, # ن = 1 ، 2 ، 3 ،… #…

• الطاقة هي ثابت للحركة ، أي # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

و الآن…

#Psi_A (x، 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

قيمة التوقع هي ثابت للحركة ، لذلك نحن لا نهتم ما الوقت # # t_1 نحن نختار. خلاف ذلك ، هذا ليس نظام ا محافظ ا …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # بالنسبة للبعض # ن = 1 ، 2 ، 3 ،… #

في الواقع ، نحن نعرف بالفعل ما يجب أن يكون عليه ، لأن هاميلتون بالنسبة للبئر اللا نهائية ذات البعد الأحادي هو الوقت المستقل …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

و ال # (ه ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (ه ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # انتقل إلى 1 في جزء لا يتجزأ:

#color (blue) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x، t) hatHPhi_1 (x، t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x، t) hatHPhi_2 (x، t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

حيث سمحنا #Phi_n (x، t) = phi_n (x، 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. مرة أخرى ، كل عوامل المرحلة تلغي ، ونلاحظ أن المصطلحات خارج القطر تذهب إلى الصفر بسبب تعامد # # phi_n.

المقام هو القاعدة # # بسي، الذي

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

وبالتالي، # << بسي | بسي >> >> 5/6 #. ذلك يعطي:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) إلغاء (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((بيكسل) / L) إلغاء (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) إلغاء (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -^ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) إلغاء (ه ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) DX / (5 // 6) #

تطبيق المشتقات:

# = 6/6 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 الخطيئة ((2pix) / L) DX #

الثوابت تطفو:

# = 6/6 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

ومن المعروف أن هذا جزء لا يتجزأ من الأسباب المادية لتكون في منتصف الطريق بينهما #0# و # # L، مستقلة عن # ن #:

# = 6/6 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = اللون (الأزرق) (14/5 E_1) #

إجابة:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

تفسير:

كل دولة ثابتة المقابلة للطاقة eigenvalue # # E_n تلتقط عامل المرحلة #e ^ {- iE_n t} # في تطور الوقت. حالة معينة هي ليس حالة ثابتة - نظر ا لأنها تراكب للطاقة المتجانسة للطاقة التي تنتمي إلى القيم الذاتية المختلفة. نتيجة لذلك ، سوف تتطور مع الوقت بطريقة غير تافهة. ومع ذلك ، فإن معادلة شرودنجر التي تحكم تطور الوقت للحالات هي خطية - بحيث يتطور كل عنصر من عناصر الطاقة المستقل بشكل مستقل - يلتقط عامل الطور الخاص به.

لذلك ، بدء موجة وظيفة

#psi_A (x، 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

يتطور في الوقت المناسب # ر # إلى

#psi_A (x، t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {{- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

وبالتالي ، فإن قيمة توقع الطاقة في الوقت المناسب # ر # اعطي من قبل

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x، t) hat {H} psi_A (x، t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) مرات (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

حيث استخدمنا حقيقة أن #phi_i (خ) # هي egenfunctions الطاقة ، بحيث #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

هذا لا يزال يعطينا تسعة شروط. ومع ذلك ، فإن الحساب النهائي يتم تبسيطه كثير ا من خلال حقيقة أن وظائف الطاقة الذاتية تكون طبيعية. أي يطيعون

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

هذا يعني أنه من بين التكاملات التسعة ، يبقى ثلاثة فقط على قيد الحياة ، ونحصل

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

باستخدام النتيجة القياسية التي #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #، نحن لدينا # E_1 = 4E_0 # و # E_2 = 9E_0 # لبئر محتمل لانهائي (قد تكون معتاد ا على تعبير يقول #E_n propto n ^ 2 # لبئر لا حصر له - ولكن في هذه الحالة المسمى الدولة # # E_1 - هنا نحن وضع العلامات عليه # # E_0 - ومن هنا التغيير). وهكذا

# <E> = (1/6 مرات 1 + 1/3 مرات 4 + 1/2 مرات 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

ملحوظة:

1. في حين أن وظائف الطاقة الفردية تتطور في الوقت المناسب من خلال اختيار عامل الطور ، فإن وظيفة الموجة الكلية لا تختلف عن الأولى من قبل عامل المرحلة فقط - وهذا هو السبب في أنها لم تعد حالة ثابتة.
2. كانت التكاملات المعنية مثل

   # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} الأوقات infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

   وهذه تبدو وكأنها تعتمد على الوقت. ومع ذلك ، فإن تكاملات فقط البقاء على قيد الحياة هي تلك ل # ط = ي # - وهذه هي بالتحديد تلك التي يلغي اعتماد الوقت عليها.

3. النتائج الأخيرة تتناسب مع حقيقة أن #hat {H} # يتم الحفاظ عليه - على الرغم من أن الدولة ليست حالة ثابتة - تكون قيمة توقع الطاقة مستقلة عن الوقت.
4. تم بالفعل تطبيع وظيفة الموجة الأصلية منذ ذلك الحين # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # ويتم الحفاظ على هذا التطبيع في تطور الوقت.
5. كان بإمكاننا تقليل الكثير من العمل إذا استفدنا من نتيجة ميكانيكية كمومية قياسية - إذا تم توسيع وظيفة الموجة في الشكل #psi = sum_n c_n phi_n # أين ال # # phi_n هي eigenfunctions من المشغل هيرميت #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #، ثم # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #، شريطة ، بطبيعة الحال أن الدول تطبيع بشكل صحيح.