السؤال # ecc3a

إجابة:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

تفسير:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2X + 1) / sqrt3) + C #

إجابة:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

تفسير:

كلما كان لدينا تربيعي في المقام ولا # # سفي البسط ، نريد الحصول على التكامل في النموذج التالي:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

في حالتنا ، يمكننا القيام بذلك عن طريق استكمال المربع ثم استخدام بديل.

# س ^ 2 + س + 1 = (س + 1/2) ^ 2 + ك #

# س ^ 2 + س + 1 = س ^ 2 + س + 04/01 + ك #

# ك = 3/4 #

# س ^ 2 + س + 1 = (س + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

نريد تقديم بديل u بحيث:

# (س + 1/2) ^ 2 = 3 / 4U ^ 2 #

يمكننا حل ل # # س لمعرفة ما يجب أن يكون هذا الاستبدال:

# س + 1/2 = sqrt3 / 2U #

# س = sqrt3 / 2U-1/2 #

للتكامل فيما يتعلق # ش #نتضاعف بواسطة مشتق # # س بالنسبة إلى # ش #:

# DX / (دو) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (ش) + C #

يمكننا الآن حل ل # ش # من ناحية # # س لإعادة التقديم:

# ش = (2X + 1) / sqrt3 #

هذا يعني أن إجابتنا النهائية هي:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2X + 1) / sqrt3) + C #