ما هو إسقاط (3i + 2j - 6k) على (3i - 4j + 4k)؟

إجابة:

الإسقاط المتجه هو #< -69/41,92/41,-92/41 >#، الإسقاط العددية هو # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

تفسير:

معطى # veca = (3I + 2J-6K) # و # vecb = (3i-4j + 4k) #، نستطيع إيجاد #proj_ (vecb) veca #، ال قوه موجهة إسقاط # # veca على # # vecb باستخدام الصيغة التالية:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

وهذا هو ، والمنتج نقطة من ناقلات اثنين مقسوما على حجم # # vecb، مضروبا # # vecb مقسوما على حجمها. الكمية الثانية هي كمية المتجه ، حيث نقسم المتجه على عدد. لاحظ أننا نقسم # # vecb من حيث الحجم من أجل الحصول على حتى النصر (المتجه مع حجمه #1#). قد تلاحظ أن الكمية الأولى هي عددية ، لأننا نعلم أنه عندما نأخذ منتج نقطة من متجهين ، فإن النتيجة هي عددية.

لذلك ، فإن العددية إسقاط #ا# على #ب# هو #comp_ (vecb) veca = (أ * ب) / (| ب |) #، مكتوبة أيضا # | proj_ (vecb) veca | #.

يمكننا أن نبدأ بأخذ المنتج dot الخاص بالمتجهين ، والذي يمكن كتابته كـ # veca = <3،2، -6> # و # vecb = <3 ، -4،4> #.

# veca * vecb = <3،2، -6> * <3، -4،4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

ثم يمكننا أن نجد حجم # # vecb عن طريق أخذ الجذر التربيعي لمجموع المربعات لكل مكون.

# | vecb | = الجذر التربيعي ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = الجذر التربيعي ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => الجذر التربيعي (9 + 16 + 16) = الجذر التربيعي (41) #

والآن لدينا كل ما نحتاج إليه لإيجاد الإسقاط المتجه لـ # # veca على # # vecb.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3، -4،4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

يمكنك توزيع المعامل على كل مكون من المتجه والكتابة على النحو التالي:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

إسقاط العددية لل # # veca على # # vecb هو مجرد النصف الأول من الصيغة ، حيث #comp_ (vecb) veca = (أ * ب) / (| ب |) #. لذلك ، الإسقاط العددية هو # -23 / الجذر التربيعي (41) #، والتي لا تبسط أي شيء آخر ، إلى جانب ترشيد القاسم إذا رغبت في ذلك ، إعطاء # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

امل ان يساعد!