من أصل 7 تذاكر يانصيب ، هناك 3 تذاكر حائزة على جوائز. إذا اشترى شخص ما 4 تذاكر ، فما هو احتمال الفوز بجائزتين على الأقل؟

إجابة:

# P = 22/35 #

تفسير:

اذا لدينا #3# الفوز و #4# تذاكر غير رابحة بين #7# التذاكر المتاحة.

لنفصل المشكلة إلى أربع حالات مستقلة متبادلة:

(أ) هناك #0# تذاكر الفوز بين هؤلاء #4# اشترى

(لذلك كل #4# اشترى تذاكر هي من مجموعة من #4# تذاكر غير رابحة)

(ب) هناك #1# تذكرة الفوز بين هؤلاء #4# اشترى

(وبالتالي، #3# اشترى تذاكر هي من مجموعة من #4# تذاكر غير ربحية و #1# التذكرة هي من مجموعة من #3# تذاكر الفوز)

(ج) هناك #2# تذاكر الفوز بين هؤلاء #4# اشترى

(وبالتالي، #2# اشترى تذاكر هي من مجموعة من #4# تذاكر غير ربحية و #2# التذاكر من مجموعة من #3# تذاكر الفوز)

(د) هناك #3# تذاكر الفوز بين هؤلاء #4# اشترى

(وبالتالي، #1# اشترى تذكرة هو من مجموعة من #4# تذاكر غير ربحية و #3# التذاكر من مجموعة من #3# تذاكر الفوز)

كل حدث من الأحداث المذكورة أعلاه له احتمال حدوثه.نحن مهتمون بالأحداث (ج) و (د) ، ومجموع احتمالات حدوثها هو ما تدور حوله المشكلة. يشكل هذان الحدثان المستقلان الحدث "الفوز بجائزتين على الأقل". نظر ا لأنهم مستقلون ، فإن احتمال الحدث المشترك هو مجموع مكونين.

يمكن حساب احتمالية الحدث (ج) كنسبة من عدد المجموعات #2# اشترى تذاكر هي من مجموعة من #4# تذاكر غير ربحية و #2# التذاكر من مجموعة من #3# تذاكر الفوز (# # N_c) إلى إجمالي عدد مجموعات #4# بعيدا عن المكان #7# (N).

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

البسط # # N_c يساوي عدد مجموعات من #2# تذاكر الفوز من #3# متاح # C_3 ^ 2 = (3!) / (2! * 1!) = 3 # مضروبا في عدد مجموعات من #2# تذاكر غير ربحية من #4# متاح # C_4 ^ 2 = (4!) / (2! * 2!) = 6 #.

لذلك ، البسط هو

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

القاسم هو

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4! * 3!) = 35 #

لذلك ، فإن احتمال الحدث (ج) هو

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

وبالمثل ، بالنسبة للحالة (د) لدينا

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

مجموع احتمالات الأحداث (ج) و (د) هو

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #