كيف يمكنك العثور على حد [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] مع اقتراب x من 0؟

إجابة:

أداء بعض الضرب المتزامن وتبسيط للحصول عليها #lim_ (X-> 0) (sinx * الخطيئة ^ 2X) / (1-cosx) = 0 #

تفسير:

الاستبدال المباشر ينتج شكل غير محدد #0/0#، لذلك سيتعين علينا تجربة شيء آخر.

حاول الضرب # (sinx * الخطيئة ^ 2X) / (1-cosx) # بواسطة # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * الخطيئة ^ 2X) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * الخطيئة ^ 2X (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * الخطيئة ^ 2X (1 + cosx)) / (1-جتا ^ 2X) #

هذه التقنية معروفة باسم الضرب المتزامن ، ويعمل في كل مرة تقريبا. والفكرة هي استخدام الفرق في المربعات الملكية # (أ-ب) (أ + ب) = أ ^ 2 ب ^ 2 # لتبسيط البسط أو المقام (في هذه الحالة المقام).

أذكر ذلك # الخطيئة ^ 2X + كوس ^ 2X = 1 #أو # الخطيئة ^ 2X = 1-جتا ^ 2X #. لذلك يمكننا استبدال القاسم ، وهو # 1-جتا ^ 2X #مع # الخطيئة ^ 2X #:

# ((sinx) (الخطيئة ^ 2X) (1 + cosx)) / (الخطيئة ^ 2X) #

الآن ال # الخطيئة ^ 2X # يلغي:

# ((sinx) (إلغاء (الخطيئة ^ 2X)) (1 + cosx)) / (إلغاء (الخطيئة ^ 2X)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

إنهاء بأخذ الحد من هذا التعبير:

#lim_ (X-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (X-> 0) (sinx) lim_ (X-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#