تحويل جميع الأرقام المعقدة إلى نموذج مثلثي ومن ثم تبسيط التعبير؟ اكتب الجواب في شكل قياسي.

تحويل جميع الأرقام المعقدة إلى نموذج مثلثي ومن ثم تبسيط التعبير؟ اكتب الجواب في شكل قياسي.
Anonim

إجابة:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

تفسير:

في إجابة أخرى على هذا السؤال اعتقدت أنه كان هناك خطأ مطبعي في هذا السؤال وهذا #-3# كان من المفترض أن يكون # -sqrt {3} #. لقد تأكدت في تعليق أن هذا ليس هو الحال ، أن السؤال صحيح كما هو مكتوب.

لن أكرر كيف قررنا

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

ولكن الآن لدينا لتحويل # -3 + i # لشكل المثلثية. يمكننا أن نفعل ذلك ، ولكن نظر ا لأنها ليست واحدة من المثلثات المفضلة لدى Trig ، فهي أكثر حرج ا.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

نحن في الربع الثاني والقيمة الرئيسية للماسرة العكسية هي الربع الرابع.

# angle (-3 + i) = text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #

De Moivre لا يعمل بشكل جيد للغاية في مثل هذا الشكل ، نحصل عليه

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

لكننا لسنا عالقين. منذ الأس هو فقط #3# يمكننا القيام بذلك مع صيغ الزاوية الثلاثية. دعنا ندعو الزاوية الثابتة التي وجدناها

#theta = الزاوية (-3 + i) #

بقلم دي موفري ،

# (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)) #

نعلم

# cos theta = -3 / sqrt {10} ، quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 theta) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

يبدو أن العمل أكثر بكثير من مجرد التكعيب # (- 3 + ط): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

حسنا ، دعنا نفعل المشكلة:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ circ) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / { text {cis} (10 cdot 30 ^ circ)}} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 ^ circ)} / { text {cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ circ) #

لاف ، هذا لا ينتهي أبدا. نحن نحصل

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #