إجابة:
في الواقع هناك أربع قيم ل # س / 2 # في دائرة الوحدة ، لذلك أربع قيم لكل وظيفة علم حساب المثلثات. القيمة الرئيسية لزاوية النصف موجودة # 2.2 ^ تنظيم التأمين. #
#cos (نص 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin (نص 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
#tan (نص 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
يرجى الاطلاع على شرح للآخرين.
تفسير:
دعنا نتحدث عن الجواب أولا. هناك زاويتان على دائرة الوحدة التي cotangent هو #13#. واحد هو حولها # 4.4 ^ CIRC #وآخر هو أن زائد # 180 ^ CIRC #، نسميها # 184.4 ^ CIRC #. كل واحدة من هذه زوايا نصفين ، مفصولة مرة أخرى # 180 ^ تنظيم التأمين. # أول واحد لديه نصف زوايا # 2.2 ^ CIRC # و # 182.2 ^ CIRC #، والثاني لديه نصف زوايا # 92.2 ^ CIRC # و # 272.2 ^ CIRC #، لذلك هناك أربع زوايا نصف في السؤال ، مع وجود قيم مختلفة ولكن ذات صلة لوظائف علم حساب المثلثات الخاصة بهم.
سنستخدم الزوايا الموضحة أعلاه كتقديرات ، لذلك لدينا أسماء لها.
زوايا مع cotangent من 13:
#text {Arc} text {cot} 13 approx 4.4 ^ circ #
# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 تقريبا 184.4 ^ circ #
زوايا نصف:
# 1/2 text {Arc} text {cot} 13 تقريبا 2.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) حوالي 182.2 ^ circ #
# 1/2 (180 ^ نص circ + text {Arc} text {cot} 13) حوالي 92.2 ^ circ
# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) approx 272.2 ^ circ #
حسنا ، صيغ الزاوية المزدوجة لجيب التمام هي:
#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
لذلك الصيغ زاوية نصف ذات الصلة هي
#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #
هذا كل شيء أولي. دعونا نفعل المشكلة.
سنفعل الزاوية الصغيرة أولا ، # 2.2 ^ تنظيم التأمين. # نرى الباقي منهم مجرد مضاعفات # 90 ^ CIRC # فوق ذلك ، حتى نتمكن من الحصول على وظائف علم حساب المثلثات من هذه الزاوية الأولى.
cotangent من 13 هو منحدر #1/13# لذلك يتوافق مع المثلث الأيمن مع العكس #1#، المجاور #13# ووتر #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #
#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #
#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #
الآن نحن نطبق الصيغ زاوية نصف. بالنسبة لزاويتنا الصغيرة في الربع الأول ، نختار العلامات الإيجابية.
#cos (نص 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / الجذر التربيعي {170})} #
يمكن أن نحاول تبسيط الكسور ونقلها خارج الراديكالية ، لكنني سأتركها هنا.
#sin (نص 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / الجذر التربيعي {170})} #
زاوية النصف المماس هي حاصل تلك ، لكنها أسهل في الاستخدام
# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #
#tan (نص 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #
حسن ا ، هذا هو الجزء الصعب ، ولكن دعونا لا ننسى الزوايا الأخرى.
# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
الآن لدينا الزوايا المتبقية ، والتي تقوم بتبديل جيب التمام وجيب التمام ، وتقلب علامات. لن نكرر النماذج باستثناء الظل.
# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #
#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #
# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #
#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #
# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #
تفو.
إجابة:
#color (indigo) (tan (x / 2) = 0.0384 ، sin (x / 2) = + -0.0384 ، cos (x / 2) = + - 1 #
#color (قرمزي) (tan (x / 2) = -26.0384 ، sin (x / 2) = + - 0.9993 ، cos (x / 2) = + - 0.0384 #
تفسير:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #
#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #
+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #
# 1 - تان ^ 2 (س / 2) = 26 تان (س / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0.0384 ، -26.0384 #
# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #
ولكن نعلم #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
متى #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #
متى #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #
