كيف يمكنك حل النظام x ^ 2 + y ^ 2 = 9 و x-3y = 3؟

إجابة:

هناك حلان لهذا النظام: النقاط #(3,0)# و #(-12/5, -9/5)#.

تفسير:

هذا نظام مثير للاهتمام من مشكلة المعادلات لأنه يعطي أكثر من حل لكل متغير.

لماذا يحدث هذا هو شيء يمكننا تحليله الآن. المعادلة الأولى ، هي الشكل القياسي لدائرة ذات دائرة نصف قطرها #3#. والثاني هو معادلة فوضوي قليلا لخط. تنظيفها ، سيبدو مثل هذا:

#y = 1/3 × - 1 #

لذلك بطبيعة الحال ، إذا اعتبرنا أن حل هذا النظام سيكون نقطة حيث يتقاطع الخط والدائرة ، فلا ينبغي أن نتفاجأ عندما علمنا أنه سيكون هناك حلان. واحد عندما يدخل الخط الدائرة ، وآخر عندما يغادر. انظر هذا الرسم البياني:

الرسم البياني {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10، 10، -5، 5}

أولا نبدأ بمعالجة المعادلة الثانية:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

يمكننا إدراج هذا مباشرة في المعادلة الأولى لحل ل # ذ #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

من الواضح أن هذه المعادلة لها حلان. واحدة لأجل #y = 0 # وآخر ل # 9 + 5y = 0 # وهو ما يعني #y = -9 / 5 #.

الآن يمكننا حل ل # # س في كل من هذه # ذ # القيم.

إذا # ص = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

إذا #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

لذلك لدينا حلول اثنين هي النقاط: #(3,0)# و #(-12/5, -9/5)#. إذا نظرت إلى الرسم البياني ، يمكنك أن ترى أن هذه تتوافق بوضوح مع النقطتين اللتين عبر فيه الخط الدائرة.