أعد كتابة المعادلة في نظام x'y' مستدير بدون مصطلح x'y. هل يمكنني الحصول على بعض المساعدة؟ شكر!

إجابة:

الاختيار الثاني:

# س ^ 2/4 + ص ^ 2/9 = 1 #

تفسير:

المعادلة المعطاة

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

في شكل الديكارتية العام لقسم مخروطي:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

أين #A = 31 ، B = 10sqrt3 ، C = 21 ، D = 0 ، E = 0 و F = -144 #

يوفر لنا مرجع دوران المحاور المعادلات التي تسمح لنا بتدوير مقطع مخروطي إلى زاوية محددة ، # # ثيتا. أيضا ، فإنه يعطينا المعادلة التي تسمح لنا لفرض معامل # # س ص لتصبح 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

استبدال القيم من المعادلة 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

تبسيط:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

استخدم المعادلة (9.4.4b) للتحقق من أن الدوران الجديد يتسبب في معامل # # س ص المدة لتكون 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # التحقق منها.

استخدم المعادلة (9.4.4a) لحساب #ا'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

استخدم المعادلة (9.4.4c) لحساب # C "#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

# ج '= 16 #

استخدم المعادلة (9.4.4f) لحساب #F'#

#F '= F #

#F '= -144 #

الآن ، يمكننا كتابة النموذج غير المحمي:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

اقسم الطرفين على 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

أضف 1 إلى كلا الجانبين:

# س ^ 2/4 + ص ^ 2/9 = 1 #

إجابة:

الخيار ب

تفسير:

يمكننا كتابة المعادلة في شكل مصفوفة ثم تدويرها على محورها الرئيسي.

السماح:

#bb x ^ T M bb x = x، y (a، b)، (b، c) (x)، (y) = Q #

# = (x، y) (ax + b y)، (bx + cy) = Q #

# = الفأس ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31 ، d = 5 sqrt3 ، c = 21 ، Q = 144 #

وهكذا في شكل مصفوفة:

#bb x ^ T (31، 5 sqrt3)، (5 sqrt3، 21) bb x = 144 qquad square #

لتدوير المحاور # # BBX بواسطة # # ثيتا:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

في نقل #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #، كما هو R متعامد

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

وضع هذه النتائج 2 الماضي إلى #ميدان#:

#bb x ^ ('^ T) R (31، 5 sqrt3)، (5 sqrt3، 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW إذا R هي المصفوفة التي قطرات M ، ثم لدينا المعادلة من حيث محاورها الرئيسية لمصفوفة eigenvector قطري د، أي:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M قيم القيم الذاتية هي 36 و 16 ، لذلك يمكن تحديدها على النحو التالي:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36، 0)، (0، 16) bb x ^' = 144 #

# (x '، y') (9، 0)، (0، 4) ((x ')، (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #