ما هو الفرق بين نظرية القيمة المتوسطة ونظرية القيمة القصوى؟

إجابة:

تقول نظرية القيمة الوسيطة (IVT) الوظائف المستمرة في فاصل زمني # أ، ب # تأخذ على جميع القيم (المتوسطة) بين النقيضين. تقول نظرية القيمة القصوى (EVT) الوظائف المستمرة # أ، ب # تحقيق قيمها القصوى (العالية والمنخفضة).

تفسير:

وهنا بيان EVT: اسمحوا #F# أن تكون مستمرة في # أ، ب #. ثم هناك أرقام # ج ، د في أ ، ب # مثل ذلك #f (c) leq f (x) leq f (d) # للجميع #x in a، b #. صرح بطريقة أخرى ، "العليا" # M # و "infimal" # م # من النطاق # {f (x): x in a، b } # موجود (انهم محدودون) وهناك أرقام # ج ، د في أ ، ب # مثل ذلك # F (ج) = م # و # F (د) = M #.

لاحظ أن الوظيفة #F# يجب أن تكون مستمرة في # أ، ب # لاستنتاج لعقد. على سبيل المثال ، إذا #F# هي وظيفة من هذا القبيل # F (0) = 0.5 #, # F (س) = س # إلى عن على #0<>و # F (1) = 0.5 #، ثم #F# لا يحصل على قيمة الحد الأقصى أو الحد الأدنى على #0,1#. (يوجد الحد الأقصى والحد الأقصى للنطاق (إنهما 1 و 0 على التوالي) ، لكن الوظيفة لا تصل أبد ا (لا تساوي أبد ا) هذه القيم.)

لاحظ أيض ا أنه يجب إغلاق الفاصل الزمني. الوظيفة # F (س) = س # لا يصل إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى للقيمة في الفترة الزمنية المفتوحة #(0,1)#. (مرة أخرى ، يوجد الحد الأقصى والحد الأقصى للنطاق (1 و 0 ، على التوالي) ، لكن الوظيفة لا تصل أبد ا (لا تساوي أبد ا) هذه القيم.)

الوظيفة # F (س) = 1 / س # أيضا لا يحقق الحد الأقصى أو الحد الأدنى للقيمة على الفاصل الزمني المفتوح #(0,1)#. علاوة على ذلك ، لا توجد قمة النطاق كرقم محدد (إنه "لا نهاية").

وهنا بيان IVT: اسمحوا #F# أن تكون مستمرة في # أ، ب # ونفترض # F (أ)! = و (ب) #. إذا #الخامس# هو أي رقم بين # F (أ) # و # F (ب) #، ثم هناك عدد # ج في (أ ، ب) # مثل ذلك # F (ج) = ت #. علاوة على ذلك ، إذا #الخامس# هو رقم بين العليا والحد الأدنى للنطاق # {f (x): x in a، b} #، ثم هناك عدد # c in a، b # مثل ذلك # F (ج) = ت #.

إذا قمت برسم صور لمختلف الوظائف غير المستمرة ، فمن الواضح تمام ا سبب ذلك #F# يحتاج إلى أن يكون مستمر ل IVT ليكون صحيحا.