# # Q.1 إذا #الحروف الأبجدية# هي جذور المعادلة # س ^ 2-2x + 3 = 0 # الحصول على المعادلة التي جذورها # alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 # و # بيتا ^ 3 بيتا ^ 2 + بيتا + 5 #?
إجابة
معادلة معينة # س ^ 2-2x + 3 = 0 #
# => س = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #
سمح # alpha = 1 + sqrt2i و beta = 1-sqrt2i #
الآن دع
# gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 #
# => gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 3 alpha -1 + 2alpha-1 #
# => جاما = (ألفا-1) ^ 3 + 1 + ألفا ألفا #
# => جاما = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #
# => جاما = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + 1 = sqrt2i #
واسمحوا
# دلتا = بيتا ^ 3 بيتا ^ 2 + بيتا + 5 #
# => دلتا = بيتا ^ 2 (بيتا 1) + بيتا + 5 #
# => دلتا = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1 + 5 sqrt2i #
# => دلتا = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1 + 5 sqrt2i #
# => دلتا = sqrt2i-4 + 1 + 5 = sqrt2i 2 #
وبالتالي فإن المعادلة التربيعية لها جذور # غاما والدلتا # هو
# س ^ 2- (جاما + دلتا) س + gammadelta = 0 #
# => س ^ 2- (1 + 2) س + 1 * 2 = 0 #
# => س ^ 2-3x + 2 = 0 #
# # Q.2 إذا جذر واحد من المعادلة # الفأس ^ 2 + ب س + ج = 0 # كن مربع الآخر ،
اثبت ذلك # ب ^ 3 + و^ 2C + ميلان ^ 2 = 3abc #
دع جذر واحد يكون #ألفا# ثم الجذر الآخر سيكون # ألفا ^ 2 #
وبالتالي # ألفا ^ 2 + ألفا = -b / أ #
و
# ألفا ^ 3 = ج / أ #
# => ألفا ^ 3-1 = ج / أ-1 #
# => (ألفا-1) (ألفا ^ 2 + ألفا + 1) = ج / أ-1 = (ج-أ) / أ #
# => (ألفا-1) (- ب / أ + 1) = (ج-أ) / أ #
# => (ألفا-1) ((أ-ب) / أ) = (ج-أ) / أ #
# => (ألفا-1) = (ج-أ) / (أ-ب) #
# => ألفا = (ج-أ) / (أ-ب) + 1 = (ج-ب) / (أ-ب) #
الآن #alpha # كونها واحدة من جذور المعادلة التربيعية # الفأس ^ 2 + ب س + ج = 0 # يمكننا الكتابة
# aalpha ^ 2 + balpha + ج = 0 #
# => في ((ج-ب) / (أ-ب)) ^ 2 + ب ((ج-ب) / (أ-ب)) + ج = 0 #
# => ل(ج-ب) ^ 2 + ب (ج-ب) (أ-ب) + ج (أ-ب) ^ 2 = 0 #
# => ميلان ^ 2-2abc + أ ب ^ 2 + اي بي سي-أب ^ 2 ب ^ 2C + ب ^ 3 + كاليفورنيا ^ 2-2abc + ب ^ 2C = 0 #
# => ب ^ 3 + و^ 2C + ميلان ^ 2 = 3abc #
اثبت
لبديل
# aalpha ^ 2 + balpha + ج = 0 #
# => aalpha + ب + ج / ألفا = 0 #
# => ل(ج / أ) ^ (1/3) + ب + ج / ((ج / أ) ^ (1/3)) = 0 #
# => ج ^ (1/3) و^ (2/3) + ج ^ (2/3) و^ (1/3) = - ب #
# => (ج ^ (1/3) و^ (2/3) + ج ^ (2/3) و^ (1/3)) ^ 3 = (- ب) ^ 3 #
# => (ج ^ (1/3) و^ (2/3)) ^ 3+ (ج ^ (2/3) و^ (1/3)) ^ 3 + 3C ^ (1/3) و^ (2/3) xxc ^ (2/3) و^ (1/3) (ج ^ (1/3) و^ (2/3) + ج ^ (2/3) و^ (1/3)) = (- ب) ^ 3 #
# => كاليفورنيا ^ 2 + ج ^ 2A + 3ca (-b) = (- ب) ^ 3 #
# => ب ^ 3 + كاليفورنيا ^ 2 + ج ^ 2A = 3abc #
