ما هي قمة y = 2x ^ 2 + 5x + 30؟ + مثال

إجابة:

قمة الرأس # ذ # هذه هي النقطة #(-1.25, 26.875)#

تفسير:

للحصول على قطع مكافئ في شكل قياسي: # ص = الفأس ^ 2 + ب س + ج #

قمة الرأس هي النقطة التي # ضعف = (- ب) / (2A) #

ملاحظة: ستكون هذه النقطة كحد أقصى أو أدنى # ذ # اعتمادا على علامة #ا#

في مثالنا: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2 ، b = 5 ، c = 30 #

#:. x_ "vertex" = (-5) / (2xx2) #

#= -5/4 = -1.25#

استبدال ل # # س في # ذ #

#y_ "vertex" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #

# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #

#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#

#=26.875#

قمة الرأس # ذ # هذه هي النقطة #(-1.25, 26.875)#

يمكننا أن نرى هذه النقطة كحد أدنى من # ذ # على الرسم البياني أدناه.

رسم بياني {2x ^ 2 + 5x + 30 -43.26 ، 73.74 ، -9.2 ، 49.34}

للعثور على قمة الرأس ، أسهل شيء يمكن القيام به (إلى جانب رسم بياني للمشكلة) هو تحويل المعادلة إلى شكل قمة الرأس. للقيام بذلك ، يجب علينا "إكمال المربع"

# ذ = 2X ^ 2 + 5X + 30 #

يجب أن يكون المعامل الرئيسي #1#، لذلك عامل خارج #2#

# ص = 2 (س ^ 2 + 5 / 2X + 6) #

نحن بحاجة إلى إيجاد قيمة تتغير # س ^ 2 + 5 / 2X + 6 # في مربع مثالي.

للقيام بذلك ، نحن بحاجة إلى اتخاذ المدى المتوسط ، #5/2#، وتقسيمها #2#. هذا يعطينا #5/4#.

خطوتنا التالية هي تربيع النتيجة: #(5/4)^2#أو #25/16#

#- - - - - - - - - - - - - - #

الآن لدينا القيمة المفقودة لدينا: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # انتظر لا يمكننا فقط إضافة شيء إلى مشكلة! ولكن ، إذا أضفنا شيئ ا ثم نطرحه فور ا ، فنحن لم نغير المعادلة من الناحية الفنية ، حيث إنها تطرح إلى الصفر

لذلك ، مشكلتنا هي حقا # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #

دعنا نعيد كتابة هذا: # س ^ 2 + 5 / 2X + 25/16 + 25/06 / 16 #

# س ^ 2 + 5 / 2X + 25/16 # هو مربع مثالي. دعنا نعيد كتابتها بهذا الشكل: # (س + 5/4) ^ 2 #

الآن دعونا نلقي نظرة على معادلة لدينا مرة أخرى: # (س + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #

دعنا نجمع المصطلحات المتشابهة: # (س + 5/4) ^ 2 + 71/16 #

الآن لدينا المعادلة في شكل قمة الرأس ، ويمكننا العثور على قمة الرأس بسهولة شديدة من هنا

# (س + اللون (الأحمر) (5/4)) ^ 2 + اللون (الأصفر) (71/16) #

# (- اللون (الأحمر) (x) واللون (الأصفر) (ص)) #

# (- اللون (الأحمر) (5/4) ، اللون (الأصفر) (71/16)) #

هذا هو قمة الرأس.

للتحقق من عملنا ، دعنا نرسم المعادلة الخاصة بنا ونرى قمة الرأس

الرسم البياني {ص = 2X ^ 2 + 5X + 30}

كنا على حق! #-1.25# و #4.4375# هي ما يعادل #-25/16# و #71/16#