كيف تجد المشتق الأول لـ f (x) = 2 sin (3x) + x؟

إجابة:

# F '(س) = 6cos (3X) + 1 #

تفسير:

التفريق بين كل مصطلح:

# (د (خ)) / DX = 1 #

باستخدام قواعد السلسلة للفصل الثاني لدينا:

#G (س) = ح (ك (خ)) => ز '(س) = ك "(خ) ح" (ك (خ)) #

مع:

# س (ش) = 2sin (ش) => ح "(ش) = 2cos (ش) #

#K (س) = 3X => ك '(س) = 3 #

#G (س) = 2sin (3X) => ز '(س) = 6cos (3X) #

معا لدينا:

# F '(س) = 6cos (3X) + 1 #

إجابة:

يطلب منا العثور على مشتق من #f (x) = 2sin (3x) + x # باستخدام التعريف: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

تفسير:

نحن بحاجة إلى تقييم:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (خ)) / ساعة #.

هذا سيكون مرهقا. لجعلها تبدو أقل تعقيد ا ، دعنا نقسم التعبير إلى جزأين أبسط. سنتخذ الجزء المثلثي والجزء الخطي بشكل منفصل.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

سأفترض أنه يمكنك إظهار أن الحد الثاني هو #1#. الحد الأكثر تحديا هو الحد الذي ينطوي على وظائف مثلثية.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

لذلك ، عندما نضع القطعتين مع ا ، نحصل على:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #