ما هو lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) مع اقتراب x من 1 من الجانب الأيمن؟

# 1 / ه #

# س ^ (1 / (1-س)) #:

رسم بياني {x ^ (1 / (1-x)) -2.064 ، 4.095 ، -1.338 ، 1.74}

حسنا ، هذا سيكون أسهل بكثير إذا أخذنا ببساطة # # قانون الجنسية من كلا الجانبين. منذ # س ^ (1 / (1-س)) # مستمر في الفاصل الزمني المفتوح إلى يمين #1#، يمكننا القول بأنه:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

منذ #ln (1) = 0 # و #(1 - 1) = 0#، هذا هو الشكل #0/0# وتطبق قاعدة L'Hopital:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

وبالطبع، # 1 / س # مستمر من كل جانب من #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

نتيجة لذلك ، الحد الأصلي هو:

#color (blue) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-س))) #

# = e ^ (- 1) #

# = اللون (الأزرق) (1 / ه) #