ما هي المسافة بين (0 ، 0 ، 8) و (9 ، 2 ، 0)؟

إجابة:

المسافة هي #sqrt (149) #

تفسير:

المسافة بين نقطتين

# (x_1 ، y_1 ، z_1) #

و

# (x_2 ، y_2 ، z_2) #

في # RR ^ 3 # (ثلاثة أبعاد) يعطى بواسطة

# "المسافة" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

بتطبيقها على المشكلة في متناول اليد ، نحصل على المسافة بين #(0, 0, 8)# و #(9, 2, 0)# مثل

# "المسافة" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

فيما يلي شرح للمكان الذي تأتي منه صيغة المسافة ، وليس ضروري ا لفهم الحل أعلاه.

صيغة المسافة الموضحة أعلاه تشبه بشكل مريب صيغة المسافة في # RR ^ 2 # (بعدين):

# "المسافة" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

الذي يأتي من تطبيق بسيط لنظرية فيثاغورس ، عن طريق رسم مثلث قائم بين نقطتين مع الساقين بالتوازي مع # # س و # ذ # محاور.

اتضح ، و # RR ^ 3 # يمكن استخلاص الإصدار بطريقة مماثلة. إذا استخدمنا (على الأكثر) 3 خطوط لتوصيل نقطتين ، فانتقل بالتوازي مع # # س, # ذ #و # ض # محاور ، نحصل على مربع مع النقاط كما زوايا عكسية. لذلك ، دعونا نتعرف على كيفية حساب المسافة عبر قطري مربع.

نحن نحاول معرفة طول الخط الأحمر #COLOR (أحمر) (AD) #

لأن هذا هو الوتر من المثلث # # ABD، من نظرية فيثاغورس:

# (اللون (الأحمر) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (اللون (الأزرق) (BC)) ^ 2 #

# => اللون (الأحمر) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (اللون (الأزرق) (BC)) ^ 2) "(i)" #

لسوء الحظ ، ليس لدينا طول #COLOR (الأزرق) (BD) # على النحو المحدد. للحصول عليها ، يجب علينا مرة أخرى تطبيق نظرية فيثاغورس ، هذه المرة على المثلث # # BCD.

# (اللون (الأزرق) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

كما نحتاج فقط مربع #COLOR (الأزرق) (BD) #، يمكننا الآن بديلا # ("ثانيا") # إلى #("أنا")#:

#color (red) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

وأخيرا ، إذا كان لدينا #ا# في # (x_1 ، y_1 ، z_1) # و #د# في # (x_2 ، y_2 ، z_2) #، ثم لدينا أطوال

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

استبدال هذه في ما سبق يعطينا النتيجة المرجوة.

كملاحظة إضافية ، على الرغم من أننا لا نستطيع إلا أن نجعل من البراهين الهندسية بسهولة حتى 3 أبعاد ، إلا أن علماء الرياضيات قاموا بتعميم المسافة # RR ^ ن # (# ن # أبعاد). المسافة بين

# (x_1 ، x_2 ، … ، x_n) # و # (y_1 ، y_2 ، … ، y_n) # يعرف ب

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

الذي يطابق نمط من # RR ^ 2 # و # RR ^ 3 #.