تثبت أن tan20 + tan80 + tan140 = 3sqrt3؟

إجابة:

من فضلك، انظر بالأسفل.

تفسير:

نحن نأخذ ،

# LHS = tan 20 ^ circ + tan80 ^ circ + tan140 ^ circ #

#COLOR (أبيض) (LHS) = tan20 ^ تنظيم التأمين + تان (60 ^ تنظيم التأمين + 20 ^ تنظيم التأمين) + تان (120 ^ تنظيم التأمين + 20 ^ تنظيم التأمين) #

#COLOR (أبيض) (LHS) #=# tan20 ^ تنظيم التأمين + (tan60 ^ تنظيم التأمين + tan20 ^ تنظيم التأمين) / (1-tan60 ^ ^ circtan20 تنظيم التأمين) + (tan120 ^ تنظيم التأمين + tan20 ^ تنظيم التأمين) / (1-tan120 ^ ^ circtan20 تنظيم التأمين) #

SUBST. #color (أزرق) (tan60 ^ circ = sqrt3 ، tan120 ^ circ = -sqrt3 و tan20 ^ circ = t #

# LHS = ر + (sqrt3 + ر) / (1-sqrt3t) + (- sqrt3 + ر) / (1 + sqrt3t) #

#COLOR (أبيض) (LHS) = ر + {(sqrt3 + ر) (1 + sqrt3t) + (- sqrt3 + ر) (1 sqrt3t)) / ((1-sqrt3t) (1 + sqrt3t)) #

#COLOR (أبيض) (LHS) = ر + (sqrt3 + 3T + ر + sqrt3t ^ 2-sqrt3 + 3T + تي sqrt3t ^ 2) / (1-3T ^ 2) #

#COLOR (أبيض) (LHS) = ر + (8T) / (1-3T ^ 2) #

#COLOR (أبيض) (LHS) = (ر-3T ^ 3 + 8T) / (1-3T ^ 2) #

#COLOR (أبيض) (LHS) = (9T-3T ^ 3) / (1-3T ^ 2) #

#COLOR (أبيض) (LHS) = 3 (3T-ر ^ 3) / (1-3T ^ 2) towhere، اللون (الأزرق) (ر = tan20 ^ CIRC #

#color (أبيض) (LHS) = 3 (3tan20 ^ circ-tan ^ 3 20 ^ circ) / (1-3tan ^ 2 20 ^ circ) #

#COLOR (أبيض) (LHS) = 3 tan3 (20 ^ تنظيم التأمين) toApply (2) # إلى عن على # ثيتا = 20 ^ CIRC #

# LHS = 3tan60 ^ CIRC #

# LHS = = 3sqrt3 RHS #

ملحوظة:

# (1) tan (A + B) = (tanA + tanB) / (1-tanAtanB) #

# (2) tan3theta = (3tantheta تان ^ 3theta) / (1-3tan ^ 2theta) #

# LHS = tan20 + tan80 + tan140 #

# = tan20 + tan80 + تان (180-40) #

# = tan20 + tan80-tan 40 #

# = tan20 + sin 80 / cos 80-sin 40 / cos 40 #

# = sin 20 / cos 20+ (sin 80cos 40-cos 80sin 40) / (cos 80cos 40) #

# = (sin 20cos 80cos 40 + sin 40cos 20) / (cos 20cos 80cos 40) #

الآن قاسم هذا التعبير

# = cos 20cos 80cos 40 #

# = (4 * 2sin 20cos 20cos 40cos 80) / (8sin 20) #

# = (2 * 2sin 40cos 40cos 80) / (8sin 20) #

# = (2 سين 80cos 80) / (8 سين 20) #

# = (الخطيئة 160) / (8 سنوات 20) #

# = (الخطيئة (180-20)) / (8 سنوات 20) #

# = (الخطيئة 20) / (8 سنوات 20) #

#=1/8#

بالتالي

# LHS = 8 (sin 20cos 80cos 40 + sin 40cos 20) #

# = 4sin 20 * (2cos 80cos 40) + 4 * 2sin 40cos 20 #

# = 4sin 20 (cos 120 + cos 40) +4 (sin 60 + sin 20) #

# = 4sin 20 (-1 / 2 + cos 40) +4 (sqrt3 / 2 + sin 20) #

# = - 2sin 20 + 4sin 20cos 40 + 2sqrt3 + 4sin 20 #

# = 4sin 20cos 40 + 2sqrt3 + 2sin 20 #

# = 2 (sin 60-sin 20) + 2sqrt3 + 2sin 20 #

# = 2 (sqrt3 / 2-sin 20) + 2sqrt3 + 2sin 20 #

# = sqrt3-2sin 20 + 2sqrt3 + 2sin 20 #

# = # 3sqrt3

مقاربة مضحكة باستخدام أنور # # 3sqrt3 معطى.

يمكننا كتابة LHS على النحو التالي كما نعرف # sqrt3 = تان 60 #

# LHS = تان 20 + تان 80 + تان 140 #

# = 3sqrt3 + (تان 20-تان 60) + (تان 80-تان 60) + (تان 140-تان 60) #

# = 3sqrt3 + (تان 20-تان 60) + (تان 80-تان 60) + (تان (180-40) -تان 60) #

# = 3sqrt3 + (تان 20 تان 60) + (تان 80 تان 60) - (تان 40 + تان 60) #

# = 3sqrt3 + (sin 20 / cos 20-sin 60 / cos60) + (sin 80 / cos 80-sin 60 / cos60) - (sin 40 / cos40 + sin 60 / cos60) #

# = 3sqrt3-sin (60- 20) / (cos 20cos60) + sin (80-60) / (cos 80cos60) -الخطأ (60 + 40) / (cos40cos60) #

# = 3sqrt3- (2sin 40) / cos 20+ (2sin 20) / cos 80- (2sin 100) / cos 40 #

# = 3sqrt3- (4sin 20cos 20) / cos 20+ (4sin 10 cos 10) / sin 10- (4sin 40cos 40) / cos 40 #

# = 3sqrt3-4sin 20 + 4cos 10-4sin 40 #

# = 3sqrt3-4 (الخطيئة 20 + الخطيئة 40) + 4cos 10 #

# = 3sqrt3-4 (2 sin 30cos1 0) + 4cos 10 #

# = 3sqrt3-4 (2 * 1/2 * cos1 0) + 4cos 10 #

# = 3sqrt3-4cos 10 + 4cos 10 #

# = # 3sqrt3

إجابة:

شرح في أدناه

تفسير:

# س = tan20 + tan80 + tan140 #

=# sin20 / cos20 + sin80 / cos80 + تان (180-40) #

=# (cos80 * sin20 + sin80 * cos20) / (cos80 * cos20) -tan40 #

=#sin (80 + 20) / (cos80 * cos20) -sin40 / cos40 #

=# sin100 / (cos80 * cos20) -sin40 / cos40 #

=# sin80 / (cos80 * cos20) -sin40 / cos40 #

=# (sin80 * cos40-cos80 * * sin40 cos20) / (cos80 * * cos40 cos20) #

=# (sin20 * (* 8sin80 cos40-8cos80 * * sin40 cos20)) / (8cos80 * * cos40 cos20 * sin20) #

=# (sin20 * (4sin120 + 4sin40-4cos20 * (sin120-sin40))) / (4cos80 * * cos40 sin40) #

=# (sin20 * (4sin120 + 4sin40-4sin120 * cos20 + 4sin40 * cos20)) / (2cos80 * sin80) #

=# (sin20 * (4sin60 + 4sin40-4sin60 * cos20 + 4sin40 * cos20)) / (sin160) #

=# (sin20 * (4sin60 + 4sin40-2sin80-2sin40 + 2sin60 + 2sin20)) / (sin20) #

=# 6sin60 + 2sin40-2sin80 + 2sin20 #

=# 3sqrt3 + 2sin20- (2sin80-2sin40) #

=# 3sqrt3 + 2sin20-4cos60 * sin20 #

=# 3sqrt3 + 2sin20-2sin20 #

=# # 3sqrt3