متى تستخدم صيغة Heron لإيجاد المنطقة؟

يمكنك استخدامه كلما كنت تعرف أطوال الجوانب الثلاثة للمثلث.

آمل أن يكون هذا كان مفيدا.

إجابة:

هيرون الفورمولا هو دائما تقريبا صيغة خاطئة للاستخدام. محاولة نظرية أرخميدس لمثلث مع المنطقة #ا# والجانبين # أ، ب، ج #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# رباعية = 16 ثانية (s-a) (s-b) (s-c) # أين # ق = 1/2 (أ + ب + ج) #

هذا الأخير هو المحجبات رقيقة هيرون.

تفسير:

كتب بطل الإسكندرية في القرن الأول الميلادي. لماذا نستمر في تعذيب الطلاب بنتائجه عندما يكون هناك الكثير من المكافئات الحديثة الأجمل ليس لدي فكرة.

صيغة هيرون للمنطقة #ا# من مثلث مع الجانبين # أ، ب، ج # هو

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # أين # ق = 1/2 (أ + ب + ج) # هو semiperimeter.

لا شك أن هذه الصيغة رائعة. لكن من المحرج استخدامها بسبب الكسر ، وإذا بدأنا من الإحداثيات ، فإن الجذور الأربعة المربعة.

دعنا فقط نفعل الرياضيات. نحن مربع والقضاء # ق # الذي يعمل في الغالب لإخفاء #16# وعامل مهم. قد ترغب في تجربتها بنفسك أولا.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

هذا بالفعل أفضل بكثير من شكل هيرون. نحن نحفظ الكسر حتى النهاية وليس هناك المزيد من التساؤلات حول معنى مقياس نصف قطرها.

حالة التدهور هو قول. عندما يكون أحد هذه العوامل بعلامة ناقص هو صفر ، يكون ذلك عندما يضيف الطرفان الجانب الآخر تمام ا. تلك هي المسافات بين ثلاث نقاط متداخلة ، مثلث المنحل ، ونصل إلى منطقة الصفر. من المنطقي.

ال # أ + ب + ج # عامل مثير للاهتمام. ما تخبرنا به هو أن هذه الصيغة لا تزال تعمل إذا استخدمنا عمليات النزوح ، والأطوال الموقعة ، بدلا من أن تكون إيجابية.

لا تزال الصيغة محرجة لاستخدام الإحداثيات المحددة. لنضربها قد ترغب في تجربتها بنفسك ؛

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

هذا النموذج يعتمد فقط على مربعات الطول. من الواضح تماما متماثل. يمكننا أن نتجاوز الآن مالك الحزين ونقول إن كان أطوال تربيعية عقلانية ، وكذلك مساحة المربعة.

ولكن يمكننا أن نفعل ما هو أفضل إذا لاحظنا

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

طرح،

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

هذا هو أجمل شكل.

هناك شكل غير متماثل المظهر الذي عادة ما يكون الأكثر فائدة. نلاحظ

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

إضافة هذا إلى

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

هذا هو الشكل الأكثر فائدة. هناك بالفعل ثلاث طرق لكتابتها ، مبادلة الجوانب.

ويطلق عليها مجتمعة نظرية أرخميدس ، من علم المثلثات الرشيد في إن جي فيلدبرج.

عند إعطاء إحداثيات ثنائية الأبعاد ، غالب ا ما تكون صيغة Shoelace هي أسرع مسار للمنطقة ، لكنني سأحفظ ذلك للوظائف الأخرى.