حل ل x في RR المعادلة sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1؟

إجابة:

# x في 5 ، 10 #

تفسير:

سمح # ش = س-1 #. يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة الجانب الأيسر للمعادلة كـ

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | الجذر التربيعي (ش) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

لاحظ وجود #sqrt (ش) # في المعادلة ، ونحن نبحث فقط عن القيم الحقيقية ، لذلك لدينا قيود #u> = 0 #. مع ذلك ، سننظر الآن في جميع الحالات المتبقية:

حالة 1: # 0 <= u <= 4 #

# | الجذر التربيعي (ش) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => ش = 4 #

وهكذا # ش = 4 # هو الحل الوحيد في الفاصل الزمني #0, 4#

الحالة 2: # 4 <= u <= 9 #

# | الجذر التربيعي (ش) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

لأن هذا هو علم التشويق ، كل قيمة في #4, 9# هو الحل.

الحالة 3: #u> = 9 #

# | الجذر التربيعي (ش) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => ش = 9 #

وهكذا #u = 9 # هو الحل الوحيد في الفاصل الزمني # 9، oo) #

مجتمعة ، لدينا #4, 9# كحل تعيين للقيم الحقيقية لل # ش #. استبدال في #x = u + 1 #، وصلنا إلى مجموعة الحل النهائي # x في 5 ، 10 #

بالنظر إلى الرسم البياني للجانب الأيسر ، فإن هذا يتطابق مع ما نتوقعه:

اجعل P (x_1، y_1) نقطة وليكن l السطر مع فأس المعادلة + + + ج = 0.عرض المسافة d من P-> l المعطى بواسطة: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)؟ أوجد المسافة d للنقطة P (6،7) من الخط l مع المعادلة 3x + 4y = 11؟

D = 7 اسمح l-> a x + b y + c = 0 و p_1 = (x_1، y_1) نقطة ليست على l. بفرض أن b ne 0 والدعوة d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 بعد استبدال y = - (a x + c) / b إلى d ^ 2 لدينا d ^ 2 = ( x - x_1) ^ 2 + ((c + ax) / b + y_1) ^ 2. الخطوة التالية هي العثور على الحد الأدنى d ^ 2 فيما يتعلق x لذلك سنجد x بحيث d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + ax) / b + y_1 )) / b = 0. يحدث هذا لـ x = (b ^ 2 x_1 - ab y_1-ac) / (a ^ 2 + b ^ 2) الآن ، مع استبدال هذه القيمة بـ d ^ 2 حصلنا على d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) لذلك d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) الآن ت عطى l-> 3x + 4y -11 = 0 و p_1 = (6،

ما هو (sqrt (5+) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3+) sqrt (5)) - (sqrt (5 -) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3-) الجذر التربيعي (5))؟

2/7 نأخذ ، A = (sqrt5 + sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - -sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = ((sqrt5 + sqrt3) (2sqrt3-sqrt5)) - (sqrt5-sqrt3) ) (2sqrt3 + sqrt5)) / ((2sqrt3 + sqrt5) (2sqrt3-sqrt5) = ((2sqrt15-5 + 2 * 3-sqrt15)) - (2sqrt15 + 5-2 * 3-sqrt15)) / ((2sqrt3) ^ 2- (sqrt5) ^ 2) = (إلغاء (2sqrt15) -5 + 2 * 3cancel (-sqrt15) - إلغاء (2sqrt15) -5 + 2 * 3 + إلغاء (sqrt15)) / (12-5) = ( -10 + 12) / 7 = 2/7 لاحظ أنه إذا كانت المقامات هي (sqrt3 + sqrt (3 + sqrt5)) و (sqrt3 + sqrt (3-

حل نظام المعادلة التالي: [((1)، sqrt (2) x + sqrt (3) y = 0)، ((2)، x + y = sqrt (3) -sqrt (2))]؟

{(x = (3sqrt (2) -2sqrt (3)) / (sqrt (6) -2)) ، (y = (sqrt (6) -2) / (sqrt (2) -sqrt (3)))) :} من (1) لدينا sqrt (2) x + sqrt (3) y = 0 تقسيم الطرفين على sqrt (2) يعطينا x + sqrt (3) / sqrt (2) y = 0 "(*)" إذا طرحنا "(*)" من (2) نحصل على x + y- (x + sqrt (3) / sqrt (2) y) = sqrt (3) -sqrt (2) - 0 => (1-sqrt (3) / sqrt (2)) y = sqrt (3) -sqrt (2) => y = (sqrt (3) -sqrt (2)) / (1-sqrt (3) / sqrt (2)) = (sqrt (6) -2) / (sqrt (2) -sqrt (3)) إذا استبدلنا القيمة التي وجدناها لعودة y إلى "(*)" نحصل على x + sqrt (3) / sqrt (2) * (sqrt (6) -2) / (sqrt (2) -sqrt (3)) = 0 => x + (3sqrt (2) -2sqr