دع 5a + 12b و 12a + 5b هما الأطوال الجانبية لمثلث قائم الزاوية و 13 a + kb يكونان تحت اللسان ، حيث a و b و k أعداد صحيحة موجبة. كيف يمكنك العثور على أصغر قيمة ممكنة لـ k وأصغر قيم لـ a و b لذلك k؟

إجابة:

# ك = 10 #, # ل= 69 #, # ب = 20 #

تفسير:

من خلال نظرية فيثاغورس ، لدينا:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

هذا هو:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (أبيض) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

اطرح الجانب الأيسر من كلا الطرفين لإيجاد:

# 0 = (240-26 كيلو بايت) ab + (169 كيلو بايت ^ 2) ب ^ 2 #

#color (أبيض) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

منذ # ب> 0 # نحن نطلب:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

ثم منذ ذلك الحين # أ ، ب> 0 # نحن نطلب # (240-26k) # و # (169-ك ^ 2) # أن يكون لها علامات عكسية.

متى # ك في 1 ، 9 # على حد سواء # # 240-26k و # 169-ك ^ 2 # إيجابية.

متى # ك في 10 ، 12 # نجد # 240-26k <0 # و # 169-k ^ 2> 0 # كما هو مطلوب.

وبالتالي فإن الحد الأدنى للقيمة الممكنة لل #ك# هو #10#.

ثم:

# -20a + 69b = 0 #

ثم منذ ذلك الحين #20# و #69# ليس لديهم عامل مشترك أكبر من #1#، الحد الأدنى لقيم #ا# و #ب# هي #69# و #20# على التوالي.