نحن لدينا:
# f (x، y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
الخطوة 2 - تحديد النقاط الحرجة
نقطة حرجة يحدث في وقت واحد من حل
# f_x = f_y = 0 iff (جزئي f) / (جزئي x) = (جزئي f) / (جزئي y) = 0 #
أي عندما:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) ، = 0 ، … A) ، (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) ، = 0 ، … B):}} # الوقت ذاته
من خلالها يمكننا إنشاء:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
وبالتالي نطلب ما يلي:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. س ^ 2 = ص ^ 2 #
ثم لدينا حلان (طائرة لا نهائية):
#:. س = + - ص #
وهكذا نستنتج أن هناك العديد من النقاط الحرجة على طول أطوال تقاطع المنحنى والطائرتين.
الخطوة 3 - تصنيف النقاط الحرجة
من أجل تصنيف النقاط الحرجة ، نجري اختبار ا مشابه ا لاختبار حساب التفاضل والتكامل المتغير باستخدام المشتقات الجزئية الثانية ومصفوفة هيسيان.
# Delta = H f (x، y) = | (f_ (x x) f_ (xy)) ، (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((جزئي ^ 2 f) / (جزئي x ^ 2) ، (جزئي ^ 2 f) / (جزئي x جزئي y)) ، ((جزئي ^ 2 f) / (جزئي y جزئي x) ، (جزئي ^ 2 f) / (جزئية y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
ثم اعتمادا على قيمة
# {: (Delta> 0 ، "هناك حد أقصى إذا كان" f_ (xx) <0) ، (، "والحد الأدنى إذا كان" f_ (xx)> 0) ، (Delta <0 ، "هناك نقطة سرج")) ، (دلتا = 0 ، "مزيد من التحليل ضروري"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 × ^ 2 - 8 ذ ^ 2 + 4) #
نحن بحاجة إلى النظر في علامة
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
لذلك ، اعتمادا على علامة
هنا مؤامرة وظيفة
وهنا مؤامرة وظيفة بما في ذلك الطائرات
