حل المعادلة التالية بالأرقام الطبيعية: x² + y² = 1997 (x-y)؟

إجابة:

# (x، y) = (170، 145) # أو # (x، y) = (1817، 145) #

تفسير:

يستند الدليل التالي إلى ذلك في كتاب "مقدمة لمعادلات ديوفانتاين: نهج قائم على حل المشكلات" بقلم تيتو أندريسكو ، دورين أندريكا ، أيون كوكوريزيانو.

معطى:

# س ^ 2 + ص ^ 2 = 1997 (س-ص) #

سمح #a = (x + y) # و #b = (1997-x + y) #

ثم:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = س ^ 2 + 2xy + ص ^ 2 + 1997 ^ 2 + س ^ 2 + ص ^ 2-2 (1997 (س ص) + س ص) #

# = س ^ 2 + 2xy + ص ^ 2 + 1997 ^ 2 + س ^ 2 + ص ^ 2-2 (س ^ 2 + ص ^ 2 + س ص) #

#=1997^2#

وبالتالي نجد:

# {(0 <a = x + y <1997) ، (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

منذ #1997# هو رئيس الوزراء ، #ا# و #ب# ليس لديهم عامل مشترك أكبر من #1#.

ومن هنا توجد أعداد صحيحة موجبة # م ، ن # مع #m> n # وليس هناك عامل مشترك أكبر من #1# مثل ذلك:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2) ، (a = 2mn) ، (b = m ^ 2-n ^ 2):} اللون (أبيض) (XX) "أو" اللون (أبيض) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2) ، (a = m ^ 2-n ^ 2) ، (b = 2mn):} #

انظر الى # 1997 = م ^ 2 + ن ^ 2 # في وزارة الدفاع #3# وزارة الدفاع #5# الحساب ، نجد:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (عصري #3#) بالتالي #m - = + -1 # و #n - = + -1 # (عصري #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (عصري #5#) بالتالي #m - = + -1 # و #n - = + -1 # (عصري #5#)

وهذا يعني أن الاحتمالات الوحيدة ل # م ، ن # مودولو #15# هي #1, 4, 11, 14#.

بالإضافة إلى ذلك لاحظ أن:

# م ^ 2 في (1997/2 ، 1997) #

بالتالي:

# م في (sqrt (1997/2) ، sqrt (1997)) ~~ (31.6 ، 44.7) #

وبالتالي فإن الاحتمالات الوحيدة ل # م # هي #34, 41, 44#

نجد:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# ليس مربع مثالي.

#1997 - 44^2 = 61# ليس مربع مثالي.

وبالتالي # (م ، ن) = (34 ، 29) #

وبالتالي:

# (a، b) = (2mn، m ^ 2-n ^ 2) = (1972، 315) #

أو

# (a، b) = (m ^ 2-n ^ 2، 2mn) = (315، 1972) #

#اللون الابيض)()#

إذا # (أ ، ب) = (1972 ، 315) # ثم:

# {(x + y = 1972) ، (1997-x + y = 315):} #

وبالتالي:

# (x، y) = (1817، 145) #

#اللون الابيض)()#

إذا # (a، b) = (315، 1972) # ثم:

# {(x + y = 315) ، (1997-x + y = 1972):} #

وبالتالي:

# (x، y) = (170، 145) #