كيفية عامل ^ 8 + ب ^ 8؟

إجابة:

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # إلى عن على #b في RR #

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # إلى عن على #b = | b | e ^ (itheta) في CC #

تفسير:

بواسطة النظرية الأساسية للجبر ، يمكننا معالجة التعبير المعطى كـ

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #

حيث كل # # alpha_k هو جذر # س ^ 8 + ب ^ 8 #.

حل ل # # alpha_k، نحن نحصل

# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #

# => x ^ 8 = -b ^ 8 #

# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #

# = | ب | (-1) ^ (1/8) # (على افتراض #b في RR #)

# = | ب | (ه ^ (ط (بي + 2pik))) ^ (1/8) #

# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8) ، k في ZZ #

مثل #k في {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7} # حسابات من جميع القيم الفريدة لهذا النموذج ، نحصل على عاملنا كما ، ل #b في RR #

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #

لأكثر عمومية #b في CC #، ثم نفترض #b = | b | e ^ (itheta) #، يمكننا أن نذهب من خلال حسابات مماثلة للعثور

# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #

المعنى

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #

آسف ، أشرف على بعض التفاصيل البسيطة ، والإجابة التي قدمها sente صحيحة.

نفترض #b ne 0 # و # a ، b في RR # نحن لدينا

# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # ثم

# أ / ب = ه ^ (ط (2K + 1) بي / 8) # ثم

# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # هي # ك = 0،1، cdots، 7 # جذور أو عوامل.

حدد

#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #

وثم

# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #

وبالتالي

# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # مع المعاملات الحقيقية.