لنبدأ مع وظيفة دون # م #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
هذه الوظيفة لها بالتأكيد # س = 0 # كجذر ، منذ أن أخذنا في الحسبان # # س.
الجذور الأخرى هي حلول # س ^ 2-2x + 2 = 0 #، ولكن هذا المكافئ لا يوجد لديه جذور. هذا يعني أن كثير الحدود الأصلي له جذر واحد فقط.
الآن ، كثير الحدود #P (خ) # من درجة غريبة دائما حل واحد على الأقل ، لأن لديك
#lim_ {س ل- infty} ص (س) = - infty # و #lim_ {س إلى infty} ص (س) = infty #
و #P (خ) # مستمر ، لذلك يجب عبور # # س محور في مرحلة ما.
الجواب يأتي من النتائج التالية اثنين:
- كثير الحدود من الدرجة # ن # لديه بالضبط # ن # جذور معقدة ، ولكن في الغالب # ن # جذور حقيقية
- بالنظر إلى الرسم البياني لل # F (خ) #الرسم البياني لل # F (خ) + ك # له نفس الشكل ، ولكن يتم ترجمته عمودي ا (صعود ا إذا #K> 0 #، لأسفل خلاف ذلك).
لذلك ، نبدأ من # س ^ 3-2x ^ 2 + 2X #، التي لها جذور حقيقية واحدة فقط (وبالتالي جذران معقدان) ونحولها إلى # س ^ 3-2x ^ 2 + 2X + م #، مما يعني أننا نترجمها لأعلى أو لأسفل ، لذلك نحن لا نغير عدد الحلول.
بعض الأمثلة:
الوظيفة الأصلية: # ص = س ^ 3-2x ^ 2 + 2X #
رسم بياني {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
ترجمة لأعلى: # ص = س ^ 3-2x ^ 2 + 2X + 2 #
رسم بياني {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
ترجمة لأسفل: # ص = س ^ 3-2x ^ 2 + 2X 3 #
رسم بياني {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
كما ترون ، هناك دائم ا جذر واحد
إجابة:
انظر أدناه
تفسير:
حل بديل ، وربما أكثر أناقة:
مشتق من كثير الحدود الخاص بك هو # 3X ^ 2-4x + 2 #، وهو مكافئ مقعر بلا جذور ، وبالتالي دائما إيجابية. وبالتالي، #F# هو:
- زيادة رتابة
- #lim_ {س إلى مساء infty} و (س) = مساء infty #
- # "درجة" (و) = 3 #
أول نقطتين تظهر ذلك #F# له جذر واحد بالضبط ، والثالث أن جذرين آخرين معقدة.
