مجموع مربع ثلاثة أعداد صحيحة هو 324. كيف تجد الأعداد الصحيحة؟

إجابة:

الحل الوحيد مع أعداد صحيحة مميزة مميزة هو #(2, 8, 16)#

المجموعة الكاملة من الحلول هي:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

تفسير:

يمكننا أن ننقذ أنفسنا بعض الجهد من خلال النظر في شكل المربعات.

إذا # ن # هو عدد صحيح غريب بعد ذلك #n = 2k + 1 # لبعض الأعداد الصحيحة #ك# و:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

لاحظ أن هذا عدد صحيح فردي من النموذج # 4P + 1 #.

لذلك إذا قمت بإضافة مربعات عدد صحيحين فرديين ، فستحصل دائم ا على عدد صحيح من النموذج # 4K + 2 # لبعض الأعداد الصحيحة #ك#.

لاحظ أن #324 = 4*81# هو من النموذج # # 4K، ليس # 4K + 2 #.

ومن هنا يمكننا أن نستنتج أن الأعداد الصحيحة الثلاثة يجب أن تكون جميعها متساوية.

هناك عدد محدود من الحلول في أعداد صحيحة منذ ذلك الحين # n ^ 2> = 0 # لأي عدد صحيح # ن #.

النظر في حلول في الأعداد الصحيحة غير السلبية. يمكننا إضافة المتغيرات التي تشمل الأعداد الصحيحة السالبة في النهاية.

لنفترض أن أكبر عدد صحيح هو # ن #، ثم:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

وبالتالي:

# 12 <= n <= 18 #

ينتج عن ذلك مجموع المربعات المحتملة من الأعداد الصحيحة اثنين الأخرى:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

لكل من هذه القيم #ك#، لنفترض أن أكبر عدد صحيح هو # م #. ثم:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

ونحن نطلب # ك م ^ 2 # أن تكون مربع مثالي.

ومن هنا نجد الحلول:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

لذا فإن الحل الوحيد ذو الأعداد الصحيحة الموجبة هو #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

من السهل إظهار ذلك # X، Y # و # ض # يجب أن يكون حتى بسبب صنع # x = 2m_x + 1 ، y = 2m_y + 1 # و # ض = 2m_z # نحن لدينا

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # أو

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # وهو سخيف.

لذلك سوف ننظر من الآن فصاعدا

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

الآن النظر في الهوية

# ((ل ^ 2 + م ^ 2 ن ^ 2) / ن) ^ 2 + (2L) ^ 2 + (2M) ^ 2 = ((ل ^ 2 + م ^ 2 + ن ^ 2) / ن) ^ 2 #

مع # ل، م، ن # الاعداد الصحيحه الايجابية التعسفي وصنع

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ، (m_y = 2l) ، (m_z = 2m) ، (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / ن):} # ------ 1

نحن لدينا

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # أو حل ل # ن #

#n = 1/2 (9 مساء sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))))

لذلك لجدوى نحتاج

# 9 ^ 2-4 (ل ^ 2 + م ^ 2) = ص ^ 2 # أو

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

وذلك ل # ع = {1،2،3،4،5،6،7،8} # سيكون لدينا

#q = {80،77،72،65،56،45،32،17} # وبالتالي فإن ذلك ممكن # ف # هي

#q_f = {80،72،56،32} # لان #q equiv 0 mod 4 #

لذلك علينا أن نجد

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # أو

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20،18،14،8} #

هنا كما يمكننا التحقق بسهولة ، والحل الوحيد هو ل

# l_1 = 2، M_1 = 4 # لان

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

وبالتالي # n_1 = {4،5} #

والاستعاضة عن 1 نحصل عليه

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1) ، (m_y = 4) ، (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1) ، (m_y = 4) ، (m_z = 8):} #

إعطاء الحل

# {(x = 2m_x = 2) ، (y = 2m_y = 8) ، (z = 2m_z = 16):} #