يتم تشغيل وتر يبلغ طوله 12 من pi / 12 إلى pi / 6 راديان على دائرة. ما هي مساحة الدائرة؟

إجابة:

مساحة الدائرة هي

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1 sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

تفسير:

الصورة أعلاه تعكس الظروف المحددة في المشكلة. جميع الزوايا (الموسع لفهم أفضل) هي في راديان العد من المحور X الأفقي #ثور# عكس عقارب الساعه.

# AB = 12 #

# / _ XOA = بي / 12 #

# / _ XOB = بي / 6 #

# OA = OB = ص #

علينا أن نجد دائرة نصف قطرها دائرة من أجل تحديد منطقتها.

نحن نعرف هذا الوتر # # AB لديه طول #12# وزاوية بين نصف قطرها # # OA و # # OB (أين # O # هو مركز دائرة) هو

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

بناء الارتفاع #يا# من مثلث #Delta AOB # من قمة الرأس # O # إلى جانب # # AB. منذ #Delta AOB # هو متساوي الساقين ، #يا# هو وسيط وزاويه المنصف:

# ه = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ بوه = (/ _ AOB) / 2 = بي / 24 #

النظر في المثلث الصحيح # دلتا AOH #.

نحن نعلم أن القطة # ه = 6 # وزاوية # / _ AOH = بي / 24 #.

لذلك ، انخفاض ضغط الدم # # OAوهو نصف قطر دائرتنا # ص #، يساوي

# ص = OA = (AH) / الخطيئة (/ _ AOH) = 6 / الخطيئة (بي / 24) #

معرفة دائرة نصف قطرها ، يمكننا أن نجد منطقة:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

دعنا نعبر عن هذا دون وظائف مثلثية.

منذ

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

يمكننا التعبير عن المنطقة على النحو التالي:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

هوية مثلثية أخرى:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

وبالتالي،

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

الآن يمكننا تمثيل منطقة الدائرة باسم

#S = (72pi) / (1 sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

إجابة:

نهج آخر نفس النتيجة

تفسير:

يتم تشغيل الوتر AB بطول 12 في الشكل أعلاه# بي / 12 # إلى # بي / 6 # في دائرة نصف قطرها ص ووسط يا ، تؤخذ كأصل.

# / _ AOX = pi / 12 # و # / _ BOX = بي / 6 #

حتى القطبية تنسيق أ # = (ص، بي / 12) # وذلك ب # = (ص، بي / 6) #

تطبيق صيغة المسافة للتنسيق القطبي

طول الوتر AB ،# 12 = الجذر التربيعي (ص ^ 2 + ص ^ 2-2 * ص ^ 2 * جتا (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = ص ^ 2 + ص ^ 2-2 * ص ^ 2 * جتا (باي / 6-بي / 12) #

# => 144 = 2R ^ 2 (1-جتا (بي / 12)) #

# => ص ^ 2 = 144 / (2 (1-جتا (بي / 12)) #

# => ص ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-جتا (بي / 12)) #

# => ص ^ 2 = 72 / (1-جتا (بي / 12)) #

# => ص ^ 2 = 72 / (1-الجذر التربيعي (1/2 (1 + كوس (2 * بي / 12)) #

# => ص ^ 2 = 72 / (1-الجذر التربيعي (1/2 (1 + كوس (بي / 6)) #

# => ص ^ 2 = 72 / (1-الجذر التربيعي (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

لذلك مساحة الدائرة

# = بي * ص ^ 2 #

# = (72pi) / (1-الجذر التربيعي (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-الجذر التربيعي ((2 + sqrt3) / 4) #