رقمان يختلفان بمقدار 3. مجموع تبادليهما هو سبعة أعشار. كيف تجد الأرقام؟

إجابة:

هناك حلان لمشكلة:

# (x_1 ، y_1) = (5،2) #

# (x_2 ، y_2) = (6/7 ، -15 / 7) #

تفسير:

هذه مشكلة نموذجية يمكن حلها باستخدام نظام من معادلتين مع متغيرين غير معروفين.

دع المتغير الأول غير معروف # # س والثانية # ذ #.

الفرق بينهما هو #3#، مما يؤدي إلى المعادلة:

(1) # س-ص = 3 #

المتبادلين هم # 1 / س # و # 1 / ص #، مجموعها هو #7/10#، مما يؤدي إلى المعادلة:

(2) # 1 / س + 1 / ص = 7/10 #

بالمناسبة ، يتطلب وجود المعاملة بالمثل القيود:

# ضعف! = 0 # و #Y! = 0 #.

لحل هذا النظام ، دعونا نستخدم طريقة الاستبدال.

من المعادلة الأولى يمكننا التعبير عنها # # س من ناحية # ذ # والبديل في المعادلة الثانية.

من المعادلة (1) يمكننا استنتاج:

(3) #x = y + 3 #

استبدلها في المعادلة (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

بالمناسبة ، يتطلب هذا تقييد ا آخر:

# ص + 3! = 0 #، هذا هو #Y = - 3 #.

باستخدام القاسم المشترك # 10Y (ص + 3) # وبالنظر إلى البسط فقط ، نقوم بتحويل المعادلة (4) إلى

# 10Y + 10 (ذ + 3) = 7Y (ص + 3) #

هذه معادلة تربيعية يمكن إعادة كتابتها كـ:

# 20Y + 30 = 7Y ^ 2 + 21y # أو

# 7Y ^ 2 + ص 30 = 0 #

حلان لهذه المعادلة هما:

#y_ (1،2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

أو

#y_ (1،2) = (- 1 + -29) / 14 #

لذلك ، لدينا حلان ل # ذ #:

# y_1 = 2 # و # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

في المقابل ، باستخدام # س = ص + 3 #، نستنتج أن هناك حلين لنظام:

# (x_1 ، y_1) = (5،2) #

# (x_2 ، y_2) = (6/7 ، -15 / 7) #

في كلتا الحالتين # # س أكبر من # ذ # بواسطة #3#، لذلك الشرط الأول من المشكلة راض.

دعونا التحقق من الشرط الثاني:

(أ) للحصول على حل # (x_1 ، y_1) = (5،2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - التحقق

(ب) للحصول على حل # (x_2 ، y_2) = (6/7 ، -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - التحقق

كلا الحلول صحيحة.